【正文】 二次曲線小結(jié) 曹楊職校 授課 人：陳開運(yùn) 二次曲線小結(jié) 二次曲線小結(jié) 附錄 二次曲線發(fā)展史 目標(biāo)診斷題 綱要信號(hào)圖表 學(xué)習(xí)導(dǎo)航與要求 概念的精細(xì)化 曲線的個(gè)性與共性 技巧與題型歸類 圓 橢圓 雙曲線 雙曲線 拋物線 雙曲線定義的盲點(diǎn) 雙曲線的漸近線 離心率分析 直線與雙曲線關(guān)系 幾種曲線定義 一般二次方程的討論 曲線與方程 Excel作圖 曲線的切線 觀看網(wǎng)上動(dòng)態(tài)曲線 圓的學(xué)習(xí)要求和導(dǎo)航 ? 學(xué)習(xí)要求： ? 掌握由圓的定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解參數(shù) a,br的幾何意義，掌握一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，用圓方程解決有關(guān)問題，解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。 ? 學(xué)習(xí)導(dǎo)航： ? 圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的幾何定義 ? 幾何量間的關(guān)系 d(P,M)=r 代數(shù)等式 (xa)2+(yb)2=r2 ,a,b,r的意義。 ? 由 (xa)2+(yb)2=r2 x2+y2+Dx+Ey ? +F=0 且與 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比較，得出圓方程 A=C≠0， B=0， 且 D2+E24F0 ? x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心（ D/2， E/2） ? 半徑 r= ? 圓與直線的關(guān)系，圓心 M（ a,b),半徑 r ? 直線 Ax+By+C=0, dr相離， d=r相切， dr相交 圓與圓關(guān)系 兩圓的圓心 (a1,b1),(a2,b2),兩圓的半徑 r1,r1兩圓的圓心距 關(guān)于相切： （ 1） 過圓上一點(diǎn)（ x0,y0) 公式法： （ x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2 判別式法：設(shè)切線 yy0=k(xx0)代入圓方程，消去 y得相應(yīng) x的二次方程，由判別式 Δ=0可求得 k 從而得切線。 幾何法：由圓心到切線距離 r確定 k而得切線 。 （ 2）圓外一點(diǎn)（ x0,y0)的切線可仿上述判別式法、幾何法處理。 4 422 FED ??22 BACBbAad ? ???221221 )()( bbaad ????d的范圍 0 ~ |r1r2| ~ r1+r2 dr1+r2 位置關(guān)系 同心 內(nèi)含 內(nèi)切 相交 外切 外離 繼續(xù) 圓的公式 圖形 直角坐標(biāo)方程 參數(shù)方程 過圓上一點(diǎn)（ x0,y0)的切線 圓心在原點(diǎn)，半徑為r x2+y2=r2 * x=rcosθ y=rsinθ x0x+y0y=r2 圓心在 (r,0),半徑為 r x2+y2=2rx * x=r(1+cosθ) y=rsinθ xox+yoy=r(x+xo) 圓心在（ a,b),半徑為 r (xa)2+(yb)2=r2 * x=a+rcosθ y=b+rsinθ (x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2 圓心在 (D/2,E/2),半徑為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2+F=0 *過三點(diǎn) A(x1,y1)，B(x2,y2)C(x3,y3)的圓 x2+y2 x y 1 x12+y12 x1 y1 1 x22+y22 x2 y2 1 =0 x32+y32 x3 y3 1 **過圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圓 x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓 m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 其中 m,n不同時(shí)為零 4 422 FED ??橢圓的學(xué)習(xí)要求與導(dǎo)航 ? 學(xué)習(xí)要求 ? 知道橢圓定義并推出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，理解參數(shù) a,b,c,e 的相互關(guān)系和幾何意義。 ? 能靈活應(yīng)用橢圓定義、方程及性質(zhì)解決問題（橢圓作圖）。 ? 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 ? 橢圓方程的定義及參數(shù) a,b,c,(e)是橢圓所特有的，與坐標(biāo)無關(guān)。 ab0,c2=a2b2,(e=c/a)必須牢固掌握。 ? 橢圓的性質(zhì)（有心、封閉的曲線），橢圓曲線的范圍，掌握曲線（橢圓）對稱性的判別，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。 ? 特別： ? ， ? 2. a,b,c三個(gè)參數(shù)的關(guān)系是滿足以 a為斜邊的 直角三角形勾股定理 a2=b2+c2。 ? a對應(yīng)的變量 x（或 y)，表明焦點(diǎn)就在 x軸（或 y軸）。 ? 直線與橢圓的位置關(guān)系： ? 把直線與橢圓的方程組消元后得一元二次方程，它的判別式 Δ0直線與橢圓相交 ? Δ=0直線與橢圓相切 ? Δ 0直線與橢圓相離 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) （ a,0)(a,0)(0,b)(0,b) (0,a)(0,a)(b,0)(b,0) 對稱軸 x軸 y軸，長軸長 2a，短軸長 2b x軸 y軸 ,長軸長 2a，短軸長 2b 對稱中心 （ 0， 0） （ 0， 0） 焦點(diǎn) （ c,0)(c,0),焦點(diǎn)在 x軸 （ 0， c)(0,c),焦點(diǎn)在 y軸 焦距 |F1F2|=2c,c2=a2b2 |F1F2|==a2b2 (離心率 ) e=c/a e=c/a)0(12222 ?? babyax ?? )0(12222 ?? babxay ??雙曲線的學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)導(dǎo)航 ? 學(xué)習(xí)要求 ? 知道雙曲線的定義，理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù) a,b,c,e的幾何意義和相互關(guān)系，根據(jù)條件熟練寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，靈活應(yīng)用雙曲線的定義，方程及性質(zhì)解有關(guān)問題。 ? 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 ? 學(xué)習(xí)時(shí)，要與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，加深這兩種曲線之間的區(qū)別和聯(lián)系。 ? 必須理解雙曲線參數(shù) a,b,c,e是雙曲線所固有的，與坐標(biāo)的建立無關(guān)。 ? 雙曲線有心但不封閉，所以存在這樣的特殊情況，直線平行 ? 雙曲線的漸進(jìn)線但與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，而并不相切。因此，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，是直線與雙曲線相切的必要而非充分條件。 什么時(shí)候直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)？兩個(gè)交點(diǎn)？沒有交點(diǎn)？ 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點(diǎn) (a,0) (a,0) (0,a) (0,a) 對稱軸 X軸 y軸，實(shí)軸 2a，虛軸 2b X軸 y軸，實(shí)軸 2a，虛軸 2b 對稱中心 (0,0) (0,0) 焦點(diǎn) (c,0) (c,0) (0,c) (0,c) (離心率 ) e=c/a e=c/a 焦距 |F1F2|=2c c2=a2+b2 |F1F2|=2c c2=a2+b2 漸進(jìn)線 y=177。 bx/a y=177。 ax/b 12222 ?? byax 12222 ?? bxay雙曲線定義的三個(gè)“盲點(diǎn)” ? 雙曲線定義： “平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離之差的絕對值是常量（小于 |F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線?！? ? 定義內(nèi)有三個(gè)盲點(diǎn)：“小于 |F1F2|”， “絕對值”，“常數(shù)”，稍有不慎，就回出錯(cuò)。 ? 盲點(diǎn) 1：“小于 |F1F2|” ? 將“小于 |F1F2|”改成“大于 |F1F2|”，經(jīng)過演示，點(diǎn)的軌跡不存在。將“小于 |F1F2|”改成“等于 |F1F2|”，經(jīng)過演示，點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線，而是以F1F2為起點(diǎn)的兩條射線。 ? 盲點(diǎn) 2： “絕對值” ? 若將“絕對值”去掉，經(jīng)過演示點(diǎn)的軌跡不再是兩支曲線，只有一支，即左支或右支。 ? 盲點(diǎn) 3 ：“常數(shù)” ? 若常數(shù)等于零，點(diǎn)的軌跡是什么？經(jīng)過演示，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是線段 F1F2的中垂線。 ? 思考題： ? 學(xué)習(xí)橢圓，拋物線的定義要注意什么？ 雙曲線與它的漸近線 雙曲線方程 可得 可以看出，隨著 x無限變大， y也無限變大 所以雙曲線是無界的，為了更好研究它無限 伸展的趨勢，把上式改為 當(dāng) x無限變大時(shí)， 趨近于 0 這時(shí)， y就漸近于 177。 b/a x，說明當(dāng) x無限增大， 雙曲線愈來愈接近直線 y=177。 b/a x, 并且不論x 有多大，在第一象限內(nèi)總有： X無限變大，雙曲線無限逼近漸近線，但永遠(yuǎn) 不會(huì)相連接。 設(shè)在第一象限內(nèi)取 x0 ，漸近線對應(yīng) y1,雙曲線 對應(yīng) y0 ，有 說明了①在第一象限內(nèi)，對同樣的 x漸近 線的值大于雙曲線的值，② x無限增大， y1y0 也無限趨向于 0 思考題： ①你能說說離心率 e與雙曲線漸近線開口 大小的關(guān)系嗎？ ②你能舉出其他已學(xué)的函數(shù)或方程的曲 線的漸近線的例子嗎？ 12222 ?? byax 22 axaby ???221xaxaby ???22xaxabxaxaby ??? 221