【正文】 159第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性及其描述 頻率特性的基本概念及求取 頻率特性的表示方法 1. 代數(shù)表示方法 2. 幾何表示方法 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 控制系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 控制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制及對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制 應(yīng)用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非單位反饋控制系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 非單位反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 增益裕量 相角裕量 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性分析 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性分析 閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性的關(guān)系 等M圓與等N圓 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo) 應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性 例題精解本章小結(jié)習(xí)題第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析 本章將研究頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性曲線、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕度、根據(jù)頻率特性求過渡過程性能指標(biāo)的方法及MATLAB在繪制系統(tǒng)的頻率特性中的應(yīng)用。167。51 頻率特性及其描述 頻率特性的基本概念及求取1. 頻率特性的基本概念 頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)(或元件)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性，對(duì)于線性系統(tǒng)，若其輸入信號(hào)為正弦量，則其穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)也將是同頻率的正弦量，但其幅值和相位一般都不同于輸入量。下面以 RC 電路為例，說明頻率特性的基本概念。圖51所示的 RC 電路，ui(t)和uo(t)分別為電路的輸入電壓和輸出電壓，電路的微分方程為圖51 RC電路式中T＝RC為電路的時(shí)間常數(shù)。 RC電路的傳遞函數(shù)為 （51） 當(dāng)輸入電壓為正弦函數(shù) ui(t)＝ Ui sinωt ，則由式(51)可得 經(jīng)拉氏反變換得電容兩端的輸出電壓式中，第一項(xiàng)為輸出電壓的暫態(tài)分量，第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng) t →∞時(shí)，第一項(xiàng)趨于零，于是 （52）式中：。由式(52)可見，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的倍,相角比輸入遲后 顯然 和都是ω 的函數(shù)，前者稱為 RC 電路的幅頻特性，后者稱為RC 電路的相頻特性，圖52繪出了RC 電路的幅頻和相頻曲線。圖52 RC電路的幅頻特性和相頻特性a) 幅頻特性 b) 相頻特性 由曲線可見，輸入電壓的頻率ω 較低時(shí)，輸出和輸入的幅值相等，相角遲后不大，ω 增大時(shí)，輸出的幅值減小，相角遲后增大，ω→∞時(shí)，輸出幅值為零，相角遲后90176。一般的線性系統(tǒng)如圖53所示，當(dāng)輸入信號(hào)為 時(shí)，在 t →∞，即穩(wěn)態(tài)情況下，由分析法或?qū)嶒?yàn)的方法也可得出輸出信號(hào)為，顯然 y(t)也是正弦函數(shù)，如圖54所示。y(t)和 x(t)具有相同的頻率，但幅值和相角不同。進(jìn)一步研究可知穩(wěn)態(tài)輸出分量的振幅Y 與輸入正弦函數(shù)的振幅 X 的比值 Y /X 和相角差都是角頻率的函數(shù)。我們定義正弦輸出量與正弦輸入量的幅值之比 為幅頻特性，它描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)，在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性。圖53 線性系統(tǒng)示意圖 圖54 線性系統(tǒng)的正弦輸入、輸出定義輸出量與輸入量的相角之差為相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)在相位上產(chǎn)生的相角遲后(對(duì)應(yīng))或相角超前(對(duì)應(yīng))的特性。幅值和相角在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量，如圖55所示。用表示這一向量，當(dāng)然它也是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為圖55 頻率特性向量表示法 （53） 利用和可將輸出正弦函數(shù)的幅值和相角表示為 （54） （55）頻率特性和傳遞函數(shù)以及微分方程一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此頻率特性也是數(shù)學(xué)模型的一種，是頻率域的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，微分方程是時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型。 它們都反映了系統(tǒng)的固有特性，一個(gè)系統(tǒng)可以用這三種不同的數(shù)學(xué)模型來描述，知道其中一種數(shù)學(xué)模型便可求出另一種數(shù)學(xué)模型。它們?nèi)咧g的關(guān)系可用圖56表示。s=jω微分方程系 統(tǒng) 頻率特性傳遞函數(shù)jω= ps = p圖56 頻率特性、微分方程、傳遞函 數(shù)三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系 例如系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 令 s ＝ ω 代入上式，則得系統(tǒng)的頻率特性為 也就是說，知道了系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)便很容易求 ，反之也一樣。 頻率特性的表示方法1. 代數(shù)表示方法 顯然，頻率特性 是一復(fù)數(shù)，所以它和其它復(fù)數(shù)一樣，可表示為直角坐標(biāo)形式、極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式。 (直角坐標(biāo)表示式) （56） (極坐標(biāo)表示式) （57） (指數(shù)表示式) （58） 在以上各式中，通常稱P(ω) 為實(shí)頻特性；Q(ω) 為虛頻特性；A(ω) 為幅頻特性；為相頻特性 ；｜G( jω)｜為G(jω)的模；為 G( j ω)的相角。顯然實(shí)頻特性 (59) 虛頻特性 (510) 幅頻特性 (511) 相頻特性 （512） 由式(52)可得圖51所示RC電路的幅頻特性和相頻特性分別為 若將線性系統(tǒng)(或裝置)在正弦輸入作用的穩(wěn)態(tài)情況下，輸入、輸出正弦函數(shù)用向量表示，即正弦函數(shù) x(t)，y(t)分別用 , 表示為 式中，X ，Y 和 ， 分別表示 x(t)，y(t)的幅值和相角。則即  (513) 由此可知，頻率特性等于輸出量傅氏變換與輸入量傅氏變換之比，它表示線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)情況下輸出、輸入正弦信號(hào)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，與頻率有關(guān)，是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。2. 幾何表示方法 除了數(shù)學(xué)表達(dá)式外，圖形比數(shù)學(xué)表達(dá)式更形象，使用也更方便。在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把頻率特性畫成曲線，從這些頻率特性曲線出發(fā)進(jìn)行研究，常用的頻率特性曲線有幅相頻率特性曲線、對(duì)數(shù)頻率特性曲線和對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線，下面介紹前兩種頻率特性曲線。 ①、幅相頻率特性曲線(極坐標(biāo)頻率特性曲線) 幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，也叫極坐標(biāo)頻率特性曲線。它是在復(fù)平面上用一條曲線表示ω 由零變化到無窮大時(shí)的頻率特性，其特點(diǎn)是把頻率ω 看成參變量，將頻率特性的幅頻和相頻特性同時(shí)表示在復(fù)平面上。 根據(jù)幅相特性曲線上任一點(diǎn)的實(shí)部、虛部和由原點(diǎn)到這一點(diǎn)向量的幅值、相角可以得相應(yīng)于該點(diǎn)頻率的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性，如圖57所示。復(fù)平面圖57 幅相曲線 前面講過RC電路的傳遞函數(shù)為式中T=RC ，由上式可求得頻率特性  幅頻特性  相頻特性 對(duì)于一個(gè)確定的頻率，必有一個(gè)幅頻特性的幅值和相頻特性的相角與之對(duì)應(yīng)。 時(shí) ，幅值 1和相角 －45176。在復(fù)平面上就代表一個(gè)向量。ω ＝ 0時(shí)，A(0) ＝ 1，同樣幅值1和相角0 176。在復(fù)平面上又代表一個(gè)向量，當(dāng) ω 從0變化到 ∞ 時(shí)，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線，這條曲線就是幅相曲線(極坐標(biāo)曲線)或Nyquist曲線，RC電路的幅相曲線如圖58所示。圖58 RC電路的幅相曲線根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系，頻率特性曲線是以平面上變量 s 沿正虛軸變化時(shí)在 G(s)平面得到的映射。同理，變量在 s 平面上沿負(fù)虛軸變化時(shí)，也可在G(s)平面上得到它的映射。幅頻特性是ω的偶函數(shù)，相頻特性是ω的奇函數(shù)，因此,ω 從0～－∞的頻率特性曲線和ω從0～∞的頻率特性曲線是對(duì)稱于實(shí)軸的。為了表示頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系，通常繪有頻率特性曲線的復(fù)平面標(biāo)注為G(s)平面，將在G(s)平面上繪有頻率特性的圖稱為頻率特性的極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖。 ②、對(duì)數(shù)頻率特性曲線 對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德曲線，包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線，是廣泛使用的一組曲線，這兩條曲線連同它們的坐標(biāo)組成了對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或稱伯德圖。對(duì)數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)是頻率ω，并按ω 的對(duì)數(shù)值logω 進(jìn)行線性分度的，對(duì)數(shù)分度和線性分度的區(qū)別如圖59所示。圖59 對(duì)數(shù)坐標(biāo)與線性坐標(biāo)a)對(duì)數(shù)分度 b)線性分度頻率軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化稱十倍頻程或十倍頻，用符號(hào)dec表示。例如ω２＝10ω１，則。由于橫坐標(biāo)按 logω 線性分度，所以零頻率在線性分度的－∞處，橫坐標(biāo)對(duì)ω 而言是不均勻分度的，但對(duì) logω 來講卻是均勻的。表51ω12345678910log對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)是以對(duì)數(shù)值 L(ω)＝20 log A(ω)表示，單位是分貝，用符號(hào)dB表示，和橫坐標(biāo)不同的是通常直接將 20log A(ω) 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)，一般用度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。所以對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線是畫在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，頻率軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)。 采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸的優(yōu)點(diǎn)是： （1）可以將幅值的乘除化為加減。 （2）可以采用簡便方法繪制近似的對(duì)數(shù)幅頻曲線。 （3）將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)畫成對(duì)數(shù)頻率特性曲線，能方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式或傳遞函數(shù)。 另一種曲線是對(duì)數(shù)幅相曲線(又稱尼柯爾斯曲線)，對(duì)應(yīng)的曲線圖稱為對(duì)數(shù)幅相圖(又稱尼柯爾斯圖)，對(duì)數(shù)幅相曲線在這里就不介紹了。 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 、比例環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)  K為比例系數(shù)。 頻率特性  （514） 由此可得比例環(huán)節(jié)的 實(shí)頻特性 （515） 虛頻特性 （516） 幅頻特性 （517） 相頻特性 （518）對(duì)數(shù)幅頻特性 （519）比例環(huán)節(jié)幅相曲線為實(shí)軸上的 ( K ，j0)點(diǎn)，對(duì)數(shù)幅頻特性為平行于頻率軸L(ω)＝ 20logK (dB)的一直線，相頻特性為零度線，如圖510所示。圖510 比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性 b)對(duì)數(shù)相拼特性、積分環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 頻率特性 (520) 由此可得積分環(huán)節(jié)的 實(shí)頻特性 (521) 虛頻特性  （522） 幅頻特性 （523） 相頻特性 (524)圖511 積分環(huán)節(jié)的幅相曲線對(duì)數(shù)幅頻特性 (525)積分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖511所示，重合于負(fù)虛軸。頻率ω 從0 ～∞時(shí)，特性曲線由虛軸的 －j∞ 處趨向原點(diǎn)。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的頻率軸是以 logω 分度，由式(525)可知，L (ω)對(duì) logω 的關(guān)系是直線方程。－20dB/dec 是直線的斜率。直線的位置由下式確定：當(dāng)ω ＝ 1時(shí)，logω