全微分、方向導數(shù)、梯度(已修改)
2025-08-28 01:37 本頁面
【正文】 第八章 多元函數(shù)微分學 教案編寫：張理電子制作：張理第八章 多元函數(shù)微分學 本章學習要求： 1. 理解多元函數(shù)的概念。熟悉多元函數(shù)的“點函數(shù)”表示法。 2. 知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。會求二元函數(shù)的極限。知道極限的“點函數(shù)”表示法。 3. 理解二元和三元函數(shù)的偏導數(shù)、全導數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。了解二元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分的幾何意義。 4. 熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導數(shù)、全導數(shù)、全微分的計算方法及復合函數(shù)求導法。能熟練求出函數(shù)的二階偏導數(shù)。了解求偏導與求導順序無關的條件。 5. 理解方向導數(shù)的概念，并掌握它的計算方法以及它與梯度的關系。 6. 會求隱函數(shù) (包括由方程組確定的隱函數(shù) )的一階、二階偏數(shù)。 7. 知道二元函數(shù)的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函數(shù)的偏導數(shù)概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。 10. 了解空間 (平面 )曲線的參數(shù)方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念 ,并能熟 練求出它們的方程。知道曲線族的包絡的概念及其法。 12. 理解二元函數(shù)無約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無約 束極值。了解條件極值（有約束極值）的概念，能熟練運用拉 格朗日乘數(shù)法求條件極值。 13. 掌握建立與多元函數(shù)極值有關的數(shù)學模型的方法。會求解一些 較簡單的最大值和最小值的應用問題。 第四節(jié) 全微分 方向導數(shù) 梯度 我們以二元函數(shù)為主 , 進行講解 , 所得結論可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中 . 一 . 全微分 回憶一元函數(shù)的微分 , 0 使得有關的實數(shù)若存在僅與 Ax)o( xxAy ?????)( , )( 0 xfxAxxf 為函數(shù)處可微在點則稱函數(shù) ?且處的微分在點 ,0xxxxxfy ???? d , d)(d可微 可導 ??運用多元函數(shù)的全增量概念 , 將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元 函數(shù)中 . 一元函數(shù)的增量 ?? 多元函數(shù)的全增量 回憶一元微分的幾何意義 O xyx?xdx xx ??)( xfy ?? ddtan xy?? 一元 : 用切線上的增量近似曲線上的增量 . 多元 : 用切平面上的增量近似曲面上的增量 . T應用 的某一個 線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量 yx ?? ,:z??????????????ybxayxfyyxxfz ),() ,(, , 無關的常數(shù)和是與 yxba ??. 應該是一個無窮小量?二元函數(shù)全微分的定義 )U( 00 XXX ??? 時 , 若函數(shù)在點 X0 處的全增量可 則稱函數(shù)在點 X0 處可微 , ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???zd ybxa ?????設函數(shù) )( Xfz ? 在點 ),( 000 yxX ? 的某一鄰域 稱為函數(shù)在點 X0 處的全微分 , 其中 , a , b 是與 ?X )U( 0X 內(nèi)有定義 , 當 0X 獲得增量 ,),( yxX ???? 且 表示為 0 有關的常數(shù) . 無關 ,僅與 X 全微分概念的極限形式 0)(lim 2200????????????? yxybxazyx0|||| |)(|lim 00?? ????????? Xybxazyx或22 yx ?????|||| X?其中 如果函數(shù) )(Xf 在區(qū)域 ? 中的 每一點均可微 , 則稱函數(shù)在區(qū)域 ? 上可微 . 函數(shù)在區(qū)域上的可微性 可微 連續(xù) 可導 ? ? ? 在多元函數(shù)中 , 三者的關系如何？ 連續(xù)： 0lim00??????zyx可微與連續(xù)的關系 (可微的必要條件 ) 可微： ???? xaz ??yb )o( 22 yx ???函數(shù) )( Xf 在點 X0 處可微 , 則必在點 X0 處連續(xù) . 可微與連續(xù)的關系 (可微的必要條件 ) 可微 連續(xù) 可導 ? 在多元函數(shù)中 , 可微 連續(xù) 可
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