高三數(shù)學(xué)立體幾何的思考(已修改)
2024-11-28 01:24 本頁面
【正文】 1 奮 斗 拼 博 2 A B C D E M 解法一 :(Ⅰ )證明 :取 BE的中點(diǎn) N,連接 MN， AN， 則 MN//CB//DA，故 M， N， A， D四點(diǎn)共面 . … 2 分 N ∵ DA⊥ 平面 EAB， ∴ DA⊥ EB. … 3 分 又 EA=AB ， ∴ AN⊥ EB … 4 分 由 MN∩AN=N， ∴ EB⊥ 平面 ANMD … 6 分 ∴ DM⊥ EB. … 7 分 也可以直接用 “三垂線定理” 【 08深一模 】 18.(本小題滿分 14分 ) 如圖所示的幾何體 ABCDE中， DA⊥ 平面 EAB，CB//DA， EA=DA=AB=2CB， EA⊥ AB， M是 EC的中點(diǎn)， (Ⅰ ) 求證： DM⊥ EB； (Ⅱ )求二面角 MBDA的余弦值 . 3 P 設(shè) CB=a， AC與 BD的交點(diǎn)為 O， ∠ AOD=θ∠ CAB=α， Q O A B C D E N M 解 : (Ⅱ )取 AC的中點(diǎn) P，連 MP， 則 MP//EA，∴ MP⊥ 平面 ABCD， 過 P作 PQ⊥ BD， 連 QM， 則 QM⊥ BD， ∴∠ MQP是二面角 MBDA的平面角 9分 則有 ∴ sinθ=sin(α+450) 又 MP= =a， 在 Rt△ MPQ中 ， 即二面角 MBDA的余弦值為 … 14 分 … 12 分 ？ 4 E D C B A M z y x 解法二 : 分別以直線 AE， AB， AD為 x軸、 y軸 、 z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Axyz， 設(shè)CB=a，則 A(0， 0， 0)， E(2a， 0， 0)， B(0， 2a， 0)， C(0， 2a， a)， D(0， 0， 2a)， 所以 M(a， a， ) …… 4 分 DM⊥ EB， 即 DM⊥ EB …… 7 分 (Ⅱ )解 :設(shè)平面 MBD的法向量為 n=(x， y， z) DB=(0， 2a， － 2a)由 n⊥ DB， n⊥ DM得 DM EB =a (－ 2a) +a 2a +0=0 (Ⅰ) 證 :DM=(a， a，－ )， EB=(－ 2a， 2a， 0)， … 5 分 5 取 z=2得平面 MBD的一非零法向量為 n=(1， 2， 2)， 又平面 BDA的法向量為 n1=(1， 0， 0)， cos n， n1 即二面角 MBDA的余 弦值為 … 14 分 … 11 分 E D C B A M z y x … 10 分 此題用“坐標(biāo)法”解簡單易行！ 6 17.(本小題滿分 14分 ) 如圖，邊長為 2的線段 AB夾在直二面角 αlβ的兩個(gè)半平面內(nèi)， A∈ α， B∈ β，且 AB與平面 α、 β所成的角都是 300 ， AC⊥ l垂足為 C， BD⊥ l，垂足為D. (Ⅰ ) 直線 AB與 CD所成的角； (Ⅱ )求二面角 CABD所成平面角的余弦值 ．
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