【正文】 高一數(shù)學(xué)必修5 導(dǎo)學(xué)案167。 正弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握正弦定理的內(nèi)容；2. 掌握正弦定理的證明方法；3. 會運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備試驗(yàn)：固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動．思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而 ．能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 二、新課導(dǎo)學(xué)※ 學(xué)習(xí)探究探究1：在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系. 如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c， 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又， 從而在直角三角形ABC中，． (探究2：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=，則， 同理可得， 從而． 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立．請你試試導(dǎo).新知：正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等，即．試試：（1）在中，一定成立的等式是（ ）．A． B.C. D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30176。，則∠B等于 ．[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使， ，；（2）等價于 ，．（3）正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如； ．（4）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形．※ 典型例題例1. 在中，已知，cm，解三角形．變式：在中，已知，cm，解三角形．例2. 在．變式：在．三、總結(jié)提升※ 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 正弦定理：2. 正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義，還有 ②等積法，③外接圓法，④向量法.3．應(yīng)用正弦定理解三角形： ①已知兩角和一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角．※ 知識拓展，其中為外接圓直徑. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 在中，若，則是（ ）.A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（ ）.　A．1∶1∶4 B．1∶1∶2　 C．1∶1∶ D．2∶2∶3. 在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ ）.A. B. C. ≥ D. 、的大小關(guān)系不能確定4. 已知ABC中，則= ．5. 已知ABC中，A，則= ．　 課后作業(yè) 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30176。，∠B＝，解此三角形．2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍為．167。 余弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握余弦定理的兩種表示形式；2. 證明余弦定理的向量方法；3. 運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：在一個三角形中，各 和它所對角的 的 相等，即 = = ．復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知，A=45176。，C=30176。，解此三角形．思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？二、新課導(dǎo)學(xué)※ 探究新知問題：在中，、的長分別為、. ∵ ，∴同理可得： ， ．新知：余弦定理：三角形中任何一邊的 等于其他兩邊的 的和減去這兩邊與它們的夾角的 的積的兩倍．思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：， ， ．[理解定理]（1）若C=，則 ，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角．試試：（1）△ABC中，，求．（2）△ABC中，，求．※ 典型例題例1. 在△ABC中，已知，，求和．變式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，則BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三邊長，，求三角形的最大內(nèi)角．變式：在ABC中，若，求角A．三、總結(jié)提升※ 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的應(yīng)用范圍：① 已知三邊，求三角；② 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊．※ 知識拓展在△ABC中，若，則角是直角；若，則角是鈍角；若，則角是銳角． 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 已知a＝，c＝2，B＝150176。，則邊b的長為（ ）. A. B. C. D. 2. 已知三角形的三邊長分別為7，則最大角為（ ）.A． B． C． D．3. 已知銳角三角形的邊長分別為x，則x的取值范圍是（ ）.A． B．＜x＜5　　C． 2＜x＜ D．＜x＜54. 在△ABC中，||＝3，||＝2，與的夾角為60176。，則|－|＝________．5. 在△ABC中，已知三邊a、b、c滿足，則∠C等于 ． 課后作業(yè) 1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.167。 正弦定理和余弦定理（練習(xí)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2. 掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：在解三角形時已知三邊求角，用 定理；已知兩邊和夾角，求第三邊，用 定理；已知兩角和一邊，用 定理．復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知 A＝，a＝25，b＝50，解此三角形．二、新課導(dǎo)學(xué)※ 學(xué)習(xí)探究探究：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.① A＝，a＝25，b＝50； ② A＝，a＝，b＝50； ③ A＝，a＝50，b＝50.思考：解的個數(shù)情況為何會發(fā)生變化？新知：用如下圖示分析解的情況（A為銳角時）．試試：1. 用圖示分析（A為直角時）解的情況？2．用圖示分析（A為鈍角時）解的情況？※ 典型例題例1. 在ABC中，已知，，試判斷此三角形的解的情況．變式：在ABC中，若，，則符合題意的b的值有_____個．例2. 在ABC中，，求的值．變式：在ABC中，若，且，求角C．三、總結(jié)提升※ 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）；2. 已知三角形三邊問題（用余弦定理解決）；3. 已知三角形兩角和一邊問題（用正弦定理解決）；4. 已知三角形兩邊和其中一邊的對角問題（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、兩解和無解三種情況）．※ 知識拓展在ABC中，已知，討論三角形解的情況 ：①當(dāng)A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解；②當(dāng)A為銳角時，如果≥，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解． 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，則的值=（ ）.A. B. C. D. 2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個三角形的最大角是（ ）.　 A．135176。 B．90176?！?C．120176。 D．150176。3. 如果將直角三角形三邊增加同樣的長度，則新三角形形狀為（ ）.A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加長度決定4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，則cosB＝ ．5. 已知△ABC中，試判斷△ABC的形狀 ． 課后作業(yè) 1. 在ABC中，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍．2. 在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且滿足，求角C．167。—①測量距離 學(xué)習(xí)目標(biāo) 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：在△ABC中，∠C＝60176。，a＋b＝，c＝2，則∠A為 . 復(fù)習(xí)2：在△ABC中，sinA＝，判斷三角形的形狀.二、新課導(dǎo)學(xué)※ 典型例題例1. 如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=. 求A、B兩點(diǎn)的距離(). 提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊. 知1：基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的 叫基線. 例2. 如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法. 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個 的點(diǎn)之間的距離測量問題. 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn). 根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離. 變式：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得BCA=60176。，ACD=30176。，CDB=45176。，BDA =60176。.練：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東30176。，燈塔B在觀察站C南偏東60176。，則A、B之間的距離為多少？三、總結(jié)提升※ 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.2．基線的選取：測量過程中，要根據(jù)需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：PA C1. 水平地面上有一個球，現(xiàn)用如下方法測量球的大小，用銳角的等腰直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測得PA=5cm，則球的半徑等于（ ）. A．5cmB．C．D．6cm2. 臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B