高中數(shù)學(xué)北師大版必修5基本不等式導(dǎo)學(xué)案(已修改)
2024-12-24 02:37 本頁面
【正文】 第 5 課時 基本不等式 ,能借助幾何圖形說明基本不等式的意義 . (小 )值 . “ 一正二定三相等 ” . 如圖是在北京召開的第 24 界國際數(shù)學(xué)家大會的會標 ,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的 ,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車 ,代表中國人民熱情好客 .在正方形 ABCD中有 4個全等的直角三角形 ,設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為 a,b,那么正方形的邊長為. 問題 1:上述情境中 ,正方形的面積為 ,4 個直角三角形的面積的和 ,由于 4 個直角三角形的面積之和不大于正方形的面積 ,于是就可以得到一個不等式 : ,我們稱之為重要不等式 ,即對于任意實數(shù) a,b,都有 當且僅當 時 ,等號成立 . 我們也可以通過作差法來證明 : =(ab)2≥0, 所以 ,當且僅當 a=b時取等號 . 問題 2:基本不等式 若 a,b∈(0, +∞ ),則 ,當且僅當 時 ,等號成立 . 問題 3:對于基本不等式 ,請嘗試從其他角度予以解釋 . (1)基本不等式的幾何解釋 : 在直角三角形中 ,直角三角形斜邊上的 斜邊上 .在圓中 ,半徑不小于半弦長 . (2)如果把 看作正數(shù) a、 b 的 , 看作正數(shù) a、 b 的 ,那么該定理可以敘述為 :兩個正數(shù)的 不小于它們的 . (3)在數(shù)學(xué)中 ,我們稱 為 a、 b的 ,稱 為 a、 b的 .因此 ,兩 個正數(shù)的 不小于它們的 . 問題 4:由基本不等式我們可以得出求最值的結(jié)論 : (1)已知 x,y∈(0, +∞ ),若積 x y=p(定值 ),則和 x+y 有最 值 ,當且僅當 x=y時 ,取 “ =” . (2)已知 x,y∈(
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