離散數(shù)學(xué)1-(已修改)
2025-08-17 10:03 本頁(yè)面
【正文】 離散數(shù)學(xué) 離 散 數(shù) 學(xué) Discrete Mathematics 陳明 Email: 信息科學(xué)與工程學(xué)院 二零一零年九月 離散數(shù)學(xué) 167。 1— 8 推理理論 在數(shù)學(xué)和其它自然科學(xué)中，經(jīng)常要考慮從某些前提 A1，A2， … ， An能夠推導(dǎo)出什么結(jié)論。 例如： ?從分子學(xué)說(shuō)，原子學(xué)說(shuō)，能夠得到什么結(jié)論； ?從光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)，能得到什么結(jié)論。 我們一般地要對(duì)“假設(shè)”的內(nèi)容作深入分析，并推究其間的關(guān)系，從而得到結(jié)論。 但也有一些推理，只需分析假設(shè)中的真值和聯(lián)結(jié)詞，便可獲得結(jié)論。 第一章 命題邏輯 離散數(shù)學(xué) 在實(shí)際應(yīng)用的推理中，我們常常把本門學(xué)科的一些 定律、定理和條件，作為假設(shè)前提 ，盡管這些前提在數(shù)理邏輯中 實(shí)非永真 ，但在推理過(guò)程中，卻總是假設(shè)這些命題為 T，并使用一些公認(rèn)的規(guī)則，得到另外的命題，形成結(jié)論，這種過(guò)程就是 論證 。 如果 6是偶數(shù)，則 7被 2除不盡?；?5不是素?cái)?shù)， 或 7被 2除盡。但 5是素?cái)?shù)。所以 6是奇數(shù)。 離散數(shù)學(xué) 任何一個(gè)推理都由 前提和結(jié)論 兩部分組成。前提就是推理所根據(jù)的已知命題，結(jié)論則是從前提出發(fā)通過(guò)推理而得到的新命題。 要研究推理，首先應(yīng)該明確什么樣的推理是有效的。 離散數(shù)學(xué) 符號(hào)化下列格式并且驗(yàn)證論證的有效性： 如果 6是偶數(shù)，則 7被 2除不盡。或 5不是素?cái)?shù)，或 7被2除盡。但 5是素?cái)?shù)。所以 6是奇數(shù)。 解：設(shè) P： 6是偶數(shù)， Q： 7被 2除盡； R： 5是素?cái)?shù) 則符號(hào)化為： (P ┐Q)∧ (┐R ∨ Q) ∧ (R)? ┐P 驗(yàn)證：設(shè) (P ┐Q)∧ (┐R ∨ Q) ∧ (R)為 T，那么 R為 T，并且 ┐R ∨ Q為 T，故 Q為 T，再因?yàn)?P ┐Q為 T，得到 ┐P為 T。 離散數(shù)學(xué) 1. 定義 定義 設(shè) A和 C是兩個(gè)命題公式，當(dāng)且僅當(dāng) A→C 為一重言式，即 A ? C，稱 C是 A的有效結(jié)論?；?C可由 A邏輯地推出。 3 . 論證過(guò)程 判別有效結(jié)論的過(guò)程就是論證過(guò)程。 2. 推廣 有效結(jié)論定義可以推廣到有 n個(gè)前提的情況。 設(shè) H1， H2， …… ， Hn， C是命題公式，當(dāng)且僅當(dāng) H1∧ H2∧ … ∧ Hn ? C (A) 稱 C是一組前提 H1， H2， …… ， Hn的有效結(jié)論。 一、有效結(jié)論 離散數(shù)學(xué) 注意： 必須把推理的 有效性 和結(jié)論的 真實(shí)性 區(qū)別開。 離散數(shù)學(xué) 二、證明方法 1. 真值表法 2. 直接證法 3. 間接證法 離散數(shù)學(xué) 1. 真值表法 設(shè) P1， P2， … ， Pn是出現(xiàn)于前提 H1， H2， … ， Hn和結(jié)論 C中的全部命題變?cè)俣▽?duì) P1， P2， … ， Pn作了全部的真值指派，這樣就能對(duì)應(yīng)地確定 H1，H2， … ， Hn和 C的所有真值，列出這個(gè)真值表，即可看出 (A)式是否成立。 ? H1， H2， … ， Hn真值均為 T的行，對(duì)于每一個(gè)這樣的行，若 C也有真值 T，則 (A)式成立； ? 或者看 C的真值為 F的行，在每一個(gè)這樣的行中，H1， H2， … ， Hn的真值至少有一個(gè)為 F，則 (A)式也成立。 離散數(shù)學(xué) 例題 1 一份統(tǒng)計(jì)表格的錯(cuò)誤或者是由于材料不可靠，或者是由于計(jì)算有錯(cuò)誤；這份統(tǒng)計(jì)表格的錯(cuò)誤不是由于材料不可靠，所以這份統(tǒng)計(jì)表格是由于計(jì)算有錯(cuò)誤。 解 設(shè)各命題變?cè)獮? P：統(tǒng)計(jì)表格的錯(cuò)誤是由于材料不可靠。 Q：統(tǒng)計(jì)表格的錯(cuò)誤是由于計(jì)算有錯(cuò)誤。 本例可譯為： Q是前提 P∨ Q， ┐P的有效結(jié)論，即 ┐P∧ (P∨ Q) ? Q 離散數(shù)學(xué) 我們列出真值表 P Q P∨ Q ┐P T T T F T F T F F T T T F F F T 從表上看到只有在第三行 P∨ Q和 ┐P的真值都為 T，這時(shí) Q的真值亦為 T。故 (P∨ Q)∧ (┐P) ? Q 成立。 或者考察 Q的真值為 F的情況，在第二行和第四行，其相應(yīng)的P∨ Q或 ┐P中至少
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