離散數學1-(已修改)
2025-08-17 10:03 本頁面
【正文】 離散數學 離 散 數 學 Discrete Mathematics 陳明 Email: 信息科學與工程學院 二零一零年九月 離散數學 167。 1— 8 推理理論 在數學和其它自然科學中，經常要考慮從某些前提 A1，A2， … ， An能夠推導出什么結論。 例如： ?從分子學說，原子學說，能夠得到什么結論； ?從光的波動學說，能得到什么結論。 我們一般地要對“假設”的內容作深入分析，并推究其間的關系，從而得到結論。 但也有一些推理，只需分析假設中的真值和聯結詞，便可獲得結論。 第一章 命題邏輯 離散數學 在實際應用的推理中，我們常常把本門學科的一些 定律、定理和條件，作為假設前提 ，盡管這些前提在數理邏輯中 實非永真 ，但在推理過程中，卻總是假設這些命題為 T，并使用一些公認的規(guī)則，得到另外的命題，形成結論，這種過程就是 論證 。 如果 6是偶數，則 7被 2除不盡?；?5不是素數， 或 7被 2除盡。但 5是素數。所以 6是奇數。 離散數學 任何一個推理都由 前提和結論 兩部分組成。前提就是推理所根據的已知命題，結論則是從前提出發(fā)通過推理而得到的新命題。 要研究推理，首先應該明確什么樣的推理是有效的。 離散數學 符號化下列格式并且驗證論證的有效性： 如果 6是偶數，則 7被 2除不盡?；?5不是素數，或 7被2除盡。但 5是素數。所以 6是奇數。 解：設 P： 6是偶數， Q： 7被 2除盡； R： 5是素數 則符號化為： (P ┐Q)∧ (┐R ∨ Q) ∧ (R)? ┐P 驗證：設 (P ┐Q)∧ (┐R ∨ Q) ∧ (R)為 T，那么 R為 T，并且 ┐R ∨ Q為 T，故 Q為 T，再因為 P ┐Q為 T，得到 ┐P為 T。 離散數學 1. 定義 定義 設 A和 C是兩個命題公式，當且僅當 A→C 為一重言式，即 A ? C，稱 C是 A的有效結論。或 C可由 A邏輯地推出。 3 . 論證過程 判別有效結論的過程就是論證過程。 2. 推廣 有效結論定義可以推廣到有 n個前提的情況。 設 H1， H2， …… ， Hn， C是命題公式，當且僅當 H1∧ H2∧ … ∧ Hn ? C (A) 稱 C是一組前提 H1， H2， …… ， Hn的有效結論。 一、有效結論 離散數學 注意： 必須把推理的 有效性 和結論的 真實性 區(qū)別開。 離散數學 二、證明方法 1. 真值表法 2. 直接證法 3. 間接證法 離散數學 1. 真值表法 設 P1， P2， … ， Pn是出現于前提 H1， H2， … ， Hn和結論 C中的全部命題變元，假定對 P1， P2， … ， Pn作了全部的真值指派，這樣就能對應地確定 H1，H2， … ， Hn和 C的所有真值，列出這個真值表，即可看出 (A)式是否成立。 ? H1， H2， … ， Hn真值均為 T的行，對于每一個這樣的行，若 C也有真值 T，則 (A)式成立； ? 或者看 C的真值為 F的行，在每一個這樣的行中，H1， H2， … ， Hn的真值至少有一個為 F，則 (A)式也成立。 離散數學 例題 1 一份統(tǒng)計表格的錯誤或者是由于材料不可靠，或者是由于計算有錯誤；這份統(tǒng)計表格的錯誤不是由于材料不可靠，所以這份統(tǒng)計表格是由于計算有錯誤。 解 設各命題變元為 P：統(tǒng)計表格的錯誤是由于材料不可靠。 Q：統(tǒng)計表格的錯誤是由于計算有錯誤。 本例可譯為： Q是前提 P∨ Q， ┐P的有效結論，即 ┐P∧ (P∨ Q) ? Q 離散數學 我們列出真值表 P Q P∨ Q ┐P T T T F T F T F F T T T F F F T 從表上看到只有在第三行 P∨ Q和 ┐P的真值都為 T，這時 Q的真值亦為 T。故 (P∨ Q)∧ (┐P) ? Q 成立。 或者考察 Q的真值為 F的情況，在第二行和第四行，其相應的P∨ Q或 ┐P中至少
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