拉普拉斯變換1-4節(jié)(已修改)
2025-08-17 07:35 本頁面
【正文】 第七章 拉普拉斯變換 第七章 拉普拉斯變換 第七章 拉普拉斯變換 ?拉氏變換的基本概念 ?拉氏變換的性質(zhì) ? 拉氏變換的逆運算 ?拉氏變換應用舉例 第七章 拉普拉斯變換 稱（ 71）式為函數(shù)的拉氏變換式，用記號 L[f(t)]=F(P)表示．函數(shù) Ｆ (Ｐ )稱為 f(t)的拉氏變換 (Laplace) (或稱為 f(t) 的象函數(shù) )．函數(shù) f(t)稱為Ｆ (Ｐ ) 的拉氏逆變換（或稱為象原函數(shù)），記作 L1［ F（ P）］ =f（ t） 即 f（ t） = L1［ F（ P）］ 定義 設(shè)函數(shù) f(t)當 t≥0時有定義，若廣義積分 在 P的某 一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個參量為 P的函數(shù)，記作 F(P),即 dtetf pt? ?? ?0)(dtetfPF pt? ?? ??0)()( （７－ 1） 第七章 拉普拉斯變換 關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點說明： （ 1）在定義中，只要求 f（ t） 在 t≥0時有定義．為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總假定在 t＜ 0 時， f（ t）＝０ . （ 2）在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù) P是在復數(shù)范圍內(nèi)取值．為了方便起見，本章我們把 P作為實數(shù)來討論，這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應用． （ 3）拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分變換． 一般來說，在科學技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的． 例 71 求一次函數(shù) f（ t） =at （ t≥0， a 為常數(shù)）的拉氏變換． 解 ??? ?? ?????? ??? ? ?????? 0000 ][)(][ dtepaepatetdpadta t eatL ptptptpt2020 ][0 paepadtepa ptpt ????? ????? ??第七章 拉普拉斯變換 單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換 設(shè) ，當 時， 的極限 ?????????????? ?tttt，，00100)( 0?? )(t??稱為 狄拉克（ Dirac）函數(shù)，簡稱為 函數(shù)． ??當 t≠0 時 , 的值為 0。當 t=0 時 , 的值為無窮大 ,即 )(t? )(t????????0,0,0)(ttt?顯然，對任何 ,有 ，所以 ． 0?? 11)(0 ?? ?????? dtdtt?? ?? 1)( ??????dtt? 工程技術(shù)中，常將 函數(shù)稱為 單位脈沖函數(shù) ，有些工程書上，將 函數(shù)用一個長度等于 1的有向線段來表示，這個線段的長度表示 函數(shù)的積分，叫做 函數(shù)的強度 ． ????????)(lim)( 0 tt ?? ?? ?? 定義： 例 72 求 的拉氏變換 )(t?dtedtedtedtettL ptptptpt ???? ?????? ? ???? ????? ????? ? ???? 0000 00 1l i m0l i m)1l i m()()]([11l i m1)( )1(l i m11l i m1][1l i m 00000 ??? ??????? ???????? ???????? ??? ppppt pepepeppe.1)]([ ?t，L ?即例 73 求 單位階梯函數(shù) 的拉氏變換． ??????0,10,0)(tttu解 ， pepdtedtetutuL ptptpt1]1[1)()]([000 ?????? ????? ??? ? ?? )0( ?p例 74求指數(shù)函數(shù) （ a為常數(shù)）的拉氏變換． atetf ?)(解 ，即 apdtedteeeLtapptatat????? ???? ???? ? 1][0)(0)( ap ?)(1][ apapeL at ???解 根據(jù)拉氏變換的定義，有 類似可得 ； )0(][ s in 22 ??? pptL ??? )0(][ co s 22 ??? pp ptL ??第七章 拉普拉斯變換 dtetfadtetfadtetfatfatfatfaL ptptpt ????????? ??? ????? )()()]()([)]()([ 0 220 11221102211)()()]([)]([ 22112211 pFapFatfLatfLa ????例 75 求下列函數(shù)的拉氏變換： （ １ ） （ ２ ） )1(1)( ateatf??? tttf c o ss in)( ? 性質(zhì) 1 (線性性質(zhì) ) 若 a a2是常數(shù)。且 Ｌ [f1(t)[=F1(p)， Ｌ [f２ (t)[=F２ (p)則Ｌ [a1f1(t)
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