卡爾曼濾波的直觀推導(dǎo)(已修改)
2025-08-17 03:40 本頁(yè)面
【正文】 卡爾曼濾波的直觀 推導(dǎo) kalman濾波問(wèn)題 ? 考慮一離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它由描述狀態(tài)向量的過(guò)程方程和描述觀測(cè)向量的觀測(cè)方程共同表示。 （ 1）、過(guò)程方程 式中， M 1向量 x(n)表示系統(tǒng)在離散時(shí)間 n的狀態(tài)向量，它是不可觀測(cè)的； M M矩陣 F（ n+1,n）成為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在時(shí)間 n的狀態(tài)到 n+1的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移，應(yīng)為已知。而 M 1向量 為過(guò)程噪聲向量，它描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移中間的加性噪聲或誤差。 )1. . . . . . . (),1(1 1 )()()( nvnxnnFnx ??????)(nv1? kalman濾波問(wèn)題 （ 1）、觀測(cè)方程 式中， N 1向量 y(n)表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在時(shí)間 n的觀測(cè)向量； N M矩陣 C（ n）稱為觀測(cè)矩陣（描述狀態(tài)經(jīng)過(guò)其作用，變成可預(yù)測(cè)的），要求也是已知的； v2(n)表示觀測(cè)噪聲向量，其維數(shù)與觀測(cè)向量的相同。過(guò)程方程也稱為狀態(tài)方程，為了分析的方便，通常假定過(guò)程噪聲 v1(n)和觀測(cè)噪聲 v2(n)均為零均值的白噪聲過(guò)程，它們的相關(guān)矩陣分別為： )2. . . . . . . . . ()( 2 )()()( nvnxnCny ???? kalman濾波問(wèn)題 ? )3. .. .. . ()}()({ ),(,011 1 knnQ knH kvnvE ???? )4. . . . . . ()}()({ ),(,022 2 knnQ knH kvnvE ??? kalman濾波問(wèn)題 ? 還假設(shè)狀態(tài)的初始值 x(0)與 v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相關(guān)，并且噪聲向量v1(n)與 v2(n)也不相關(guān)，既有： )5. . .. . . (,0)}()({ 21 knkvnvE H ???新息過(guò)程 ? 考慮一步預(yù)測(cè)問(wèn)題，給定觀測(cè)值 y(1), ...， y(n1)，求觀測(cè)向量y(n)的最小二乘估計(jì)，記作 （ 1）、新息過(guò)程的性質(zhì) y(n)的新息過(guò)程定義為： 式中， N 1向量 表示觀測(cè)數(shù)據(jù) y(n)的新的信息，簡(jiǎn)稱新息。 ))1() , . . . ,1((?)(? 1 ?? nyynynyd e f)6.() . . . . . . . . .(?)()( 1 nynyn ???? )(n?新息過(guò)程 ? 新息 具有以下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 n時(shí)刻的新息 與所有過(guò)去的觀測(cè)數(shù)據(jù)y(1), ...， y(n1)正交，即： 性質(zhì) 2 新息過(guò)程由彼此正交的隨機(jī)向量序列 { } 組成，即有 )(n?)(n?)7. . . . . . . (11,0)}()({ ???? nkkynE H?)8(. . . . . . . . . .11,0)}()({ ???? nkknE H??)(n?新息過(guò)程 性質(zhì) 3 表示觀測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)向量序列 {y(1) ,… y(n)}與表示新息過(guò)程的隨機(jī)向量序列 {a(1),… a(n)} 一一對(duì)應(yīng) ， 即 以上性質(zhì)表明： n時(shí)刻的新息 a(n)是一個(gè)與 n上課之前的觀測(cè)數(shù)據(jù) y(1), ...， y(n1)不相關(guān)，并具有白噪聲性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程，但它卻能夠提供有關(guān) y(n)的新息，這就上信息的內(nèi)在物理含義。 )9. . () } .
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