卡爾曼濾波的直觀推導(dǎo)(完整版)
【正文】 由式 (28)表示的 kalman增益與預(yù)測狀態(tài)誤差的相關(guān)矩陣 K(n,n1)有關(guān)，為了最后完成 kalman自適應(yīng)濾波算法，還需要再推導(dǎo) K(n,n1)的遞推公式。 由前面的公式可以得出 kalman濾波算法的結(jié)構(gòu)圖，如下： kalman濾波算法 ? ?)( 11 ?? nx),1( nnFn?)C( )( nnF ,1?1?z)(ny)(nx1?)(nG)(ny1?)(n??。 對式 (31)的右邊進(jìn)行展開，然后代入式 (28)和 (29)，可以證明：狀態(tài)向量預(yù)測誤差的相關(guān)矩陣的遞推公式為： 式中 式 (32)稱為 Riccati差分方程?，F(xiàn)在的問題是如何確定這個權(quán)矩陣？ （ 1）、狀態(tài)向量的一布預(yù)測 根據(jù)正交性原理，最優(yōu)預(yù)測的估計誤差 ???????nkd e fkkWnyynn xx111 )()())() ,.. .,1(1()( ?)1()1(n)1,e ( n 1 ????? ? nxnx kalman濾波算法 ? 應(yīng)該與已知值正交，故有 ? 將式（ 18）代入（ 19），并利用新息過程的正交性，得到 ? 由此可以求出權(quán)矩陣的表達(dá)式： )20. . . () . . . . . . . . .()}()1({)( 11 KRknxEkW H ??? ?)()()}()({)()}()1({11kRkWkkEkWknxE HH??? ???)19. . . . . . . . . (,. . . ,1,0)}()1()1({[)}(),1({ 1nkknxnxEknneE HH????????? kalman濾波算法 ? 將式（ 20）代入式（ 18），狀態(tài)向量的一步預(yù)測的最小均方估計可表示為 ? 注意到 并利用狀態(tài)方程 (1)，易知下式對 k=0， 1， … ， n成立： )21. . . . . () . . . . . . . . .()()}()1({)()(})()1({)()(})()1({)1(1111111nnRnnxEkkRknxEkkRknxEnHnkHnkHx??????????????????????, .. .,1,0,0)}()({ 1 nkknvE ??? kalman濾波算法 ? 將式（ 22）代入式（ 21）右邊第一項(xiàng)（求和項(xiàng)），可將其化簡為： )22.() } .. .. .. . .()({),1()}()()(),1({[)}()1({ 1knxEnnFknvnxnnFEknxEHH?????????)23. . . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .(),1()()(})()({),1()()(})()1({111111nxnnFkkRknxEnnFkkRknxEnkHnkH??????????????????
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