卡爾曼濾波的直觀推導(dǎo)(更新版)
【正文】 kalman濾波算法 ? 若定義 并將式（ 23）和式（ 24）代入式（ 21），則得到狀態(tài)向量一步預(yù)測的更新公式： 式（ 25）在 kalman濾波算法中起著關(guān)鍵的作用，因?yàn)樗砻鳎?n+1時(shí)刻的狀態(tài)向量的一步預(yù)測分為非自適應(yīng)（即確定）部分 和自適應(yīng)（即校正）部分 G(n)a(n)?？柭鼮V波的直觀 推導(dǎo) kalman濾波問題 ? 考慮一離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它由描述狀態(tài)向量的過程方程和描述觀測向量的觀測方程共同表示。 ? 定義向量的一步預(yù)測誤差： )14.() ... ......()(),1( 1 nxnxnne d e f ????)13.() . . . . . . . . .()]()()[()()()()(211nvnxnxnCnxnCnyn????????)(1 nx?新息過程 將此式代入式（ 13），則有 在新息過程的相關(guān)矩陣定義式（ 10）中代入式（ 14），并注意到觀測矩陣 C（ n）是一已知的確定矩陣，故有 式中 Q2(n)是觀測噪聲 v2(n)的相關(guān)矩陣，而 表示（一步）預(yù)測狀態(tài)誤差的相關(guān)矩陣 )15() . . . . . . . . .()1,()()( 2 nvnnenCn ????)16. . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .()()1,()()}()({)()}1,()1,({)()(222nQnCnnKnCnvnvEnCnnenneEnCnRHHHH???????)17.. .(.. .. .. .. .... .. .. .. ..) } . .. .. .. .1,()1,({)1,( ???? nnenneEnnK H kalman濾波算法 ? 由上一節(jié)的的新息過程的相關(guān)知識(shí)和信息后，即可轉(zhuǎn)入kalman濾波算法的核心問題的討論：如何利用新息過程估計(jì)狀態(tài)向量的預(yù)測？最自然的方法是用新息過程序列a(1),… a(n)的線性組合直接構(gòu)造狀態(tài)向量的一布預(yù)測： ? 式中 W1(k)表示與一步預(yù)測項(xiàng)對(duì)應(yīng)的權(quán)矩陣，且 k為離散時(shí)間。 考察狀態(tài)向量的預(yù)測誤差： 將狀態(tài)方程 (1)和狀態(tài)向量的一步預(yù)測更新公式 (25)代入式 (29)中，有： 將觀測方程 (2)代入上式，并代入 ，則有： )()(1)ne ( n , 1 nxnx???)29..() .........1()1(n)1,e ( n 1 ????? ? nxnx)()]()()()[()]()()[,1(n)1,e ( n111nvnxnCnynGnxnxnnF?????????)30... ... ... () ... ... ...()()(1)ne ( n ,)]()(),1([n)1,e ( n21 nvnGnvnCnGnnF??????? kalman濾波算法 求式 (3)所示狀態(tài)向量的一步預(yù)測誤差向量的相關(guān)矩陣，容易證明： 式中使用了 e(n+1,n)， v1(n)， v2(n)彼此不相關(guān)的事實(shí)，以及 和 等關(guān)
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