【正文】 zdzzBzzBzzBzBjzdzzRzzHzRjNneENNcwxsNo p tssc)]()]([)()([2)]()()([21)]([1121m i n21 ??????????????????? ?????????????102202022m i n2 )(])()([)]([11Nnwnnw nbNnbnbNneE ?? 例 54 已知圖 ， x(n)=s(n)其中 s(n)的自相關(guān)序列為 ，試設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的維納預(yù)測(cè)器來(lái)估計(jì) ，并求最小均方誤差。對(duì)該式求 z變換 ,得到 (531) 表示 對(duì)求單邊 z變換。 ??????????????10m i n210)()()0()]([1, . . . ,2,1,0)],()()[()(Nmsso p tsswwNmsso p tssmRmhRneENjmjRmjRmhjRmss mR )( ? 解：依題意，已知信號(hào)的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為： 代入式（ 5－ 20）得 : 解得： h(0)＝ ， h(1)＝ 。維納濾波器正是解決該問(wèn)題 。他 18歲就獲得哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩個(gè)博士學(xué)位，是 信息論的前驅(qū)和控制論的奠基人 。 h(n) x(n)=s(n)+w(n) y(n)= )(?ns基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)回顧 ? ? ? 設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)是 h(n)，當(dāng)輸入一個(gè)觀測(cè)到的隨機(jī)信號(hào) x(n)，簡(jiǎn)稱(chēng)觀測(cè)值，且該信號(hào)包含噪聲 w(n)和有用信號(hào) s(n)，也即 x(n)=s(n)+w(n) 則輸出 y(n)為 y(n)=x(n)*h(n)= ???????mmnxmh )()(?我們希望輸出得到的 y(n)與有用信號(hào) s(n)盡量接近，因此稱(chēng) y(n)為 s(n)的估計(jì)值，用 來(lái)表示 y(n)，我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖．這個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也稱(chēng)為對(duì)于s(n)的一種估計(jì)器。 圖 x(n)的信號(hào)模型 s(n) A(z) w1(n) w(n) x(n) 維納濾波器的輸入信號(hào)模型 B(z) w1(n) x(n) 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為 它的 z變換就等于 。 圖 y(n)= yd(n)= h(n) x(n)=s(n)+w(n) )(? Nns ?)( Nns ? 設(shè) h(n)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列： h(n)=0,當(dāng) n0，則有 (535) (536) 要使得均方誤差最小，則將上式對(duì)各h(m),m＝ 0， 1， … ，求偏導(dǎo)，并且等于零，得： ?????0)()(mmnxmh??? )(?)( Nnsny]))()()([()]([022 ????????mmnxmhNnsEneE (537) 即 用相關(guān)函數(shù) R來(lái)表達(dá)上式： (539) 由 yd(n)=s(n+N)，則 ...2,1,0,0])())()()([(20?????? ????jjnxmnxmhNnsEmopt0,)()()(0],)()([)()]()([(00??????????????????jmjRmhjNRjjnxmnxEmhjnxNnsEmxxoptxsmopt)()]()([()( NmRNmnsnxEmR xsxy d ?????z變換得 (540 ) 因果的預(yù)測(cè)器的傳遞函數(shù)為： (541) 最小均方誤差為 (542) )()(),()( 11 ??? ?? zRzzRzRzzR xsNxyxsNxy dd)()](/)([)()](/)([)()()( 2121111zBzBzRzzBzBzRzBzGzHwxsNwxyswoptd????????????????022m i n2 )(1)0()]([11 mywwss mRRNneE d?利用帕塞伐爾定理，上式可用 z域來(lái)表示 (543) zdzzRzzHzRjzdzzRzHzRjNneExsNoptsscxyoptssc d)]()()([21)]()()([21)]([11m i n2???????????? 例 53 已知圖 ， x(n)=s(n)+w(n),且 s(n)與 w(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中 s(n)的自相關(guān)序列為 ，w(n)是方差為 1的單位白噪聲，試設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的維納預(yù)測(cè)器估 s(n+1)，并求最小均方誤差。 mss mR )( ?解： 利用 YW方程 可以列出 2個(gè)方程式 )2(,)1(,1)0()()(????????xxxxxxmssxxRRRzRzR?2,1,0)()(21???? ??lmlRalRmxxpmxx?????????2121ppppaaaa解得： 結(jié)果和例（ 54） N=1時(shí)一致 )1()(?0, 21 ????? nxnxaa pp 也即)()0()]([1m i n2 ????? ??pmxxpmxx mRaRneE?要設(shè)計(jì)維納濾波器必須知道觀測(cè)信號(hào)和估計(jì)信號(hào)之間的相關(guān)函數(shù)，即 先驗(yàn)知識(shí) 。 ? 下面用實(shí)際例子說(shuō)明如何用維納濾波方法進(jìn)行誘發(fā)電位