高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列(已修改)
2025-11-22 08:58 本頁面
【正文】 第 3節(jié) 等比數(shù)列 考綱展示 考綱解讀 ． 1．等比數(shù)列是高考必考內(nèi)容，在選擇題、填空題及解答題中都有可能出現(xiàn)，屬低、中檔題． n項(xiàng)和公式． 2．重點(diǎn)考查等比數(shù)列定義、基本運(yùn)算、性質(zhì) (特別是等比中項(xiàng)的性質(zhì) )、通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式等． 3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 3．常與等差數(shù)列或函數(shù)、不等式結(jié)合形成綜合問題，是高考考查的熱點(diǎn)，中等偏上難度． 4．能利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和． 5．能運(yùn)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問題． 1 ． 等比數(shù)列的定義 一般地 ， 如果一個(gè)數(shù)列從 第 2 項(xiàng) 起 ， 每一項(xiàng)與它的 前一項(xiàng) 的比等于同一常數(shù) ， 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 ， 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ， 公比通常用字母 q ( q ≠ 0 ) 表示 ． 定義的符號(hào)表示是a n ＋ 1a n＝ q ( q 是常數(shù)且 q ≠ 0 ， n ∈ N*) ， 或a na n － 1＝ q ( n ≥ 2 ， q 為常數(shù)且 q ≠ 0 ) ． 質(zhì)疑探究 1 ： 常數(shù)列是公比為 1 的等比數(shù)列嗎 ？ 提示： 不一定，當(dāng)常數(shù)列的各項(xiàng)均為 0 時(shí)，它不是等比數(shù)列 ． 2 ． 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列 { a n } 的首項(xiàng)為 a 1 ， 公比為 q ， 則它的通項(xiàng)公式 a n ＝ a 1 qn － 1. 3 ． 等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù) a 、 G 、 b 組成 等比數(shù)列 ， 則 G 叫做 a 和 b 的等比中項(xiàng) ， 那么Ga＝bG， 即 G2＝ ab . 質(zhì)疑探究 2 ： b2＝ ac 是 a ， b ， c 成等比數(shù)列的什么條件 ？ 提示： 必要而不充分條件，因?yàn)?b2＝ ac 得不出 a ， b ， c 成等比數(shù)列 ( 如 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ， c＝ 1 ) ，而 a ， b ， c 成等比數(shù)列，則必有 b2＝ ac . 4 ． 等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和公式 ( 1 ) 公式的推導(dǎo) ： 推導(dǎo)等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和公式的方法是錯(cuò)位相減法 ． ( 2 ) 前 n 項(xiàng)和公式： S n ＝????? na 1 ? q ＝ 1 ?a 1 ? 1 － qn?1 － q＝a 1 － a n q1 － q? q ≠ 1 ?. 質(zhì)疑探究 3： 如何求數(shù)列 a， a2， a3， a4， … ， an的和 ？ 提示： 分類討論 ， 按 a＝ 0， a＝ 1， a≠0且 a≠1分別求解 ． 等比數(shù)列 {an}具有以下常用性質(zhì)： (1)在等比數(shù)列 {an}中 ， 若 m＋ n＝ p＋ q＝ 2r(m， n， p， q， r∈ N*)， 則 aman＝ apaq＝ ar2， 特別地 a1an＝ a2an－ 1＝ a3an－ 2＝ … . (2)數(shù)列 am， am＋ k， am＋ 2k， am＋ 3k， … 仍是等比數(shù)列 ． (3)數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， … 仍是等比數(shù)列 (此時(shí) {an}的公比 q≠－ 1)． (4)an＝ amqn－ m. 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 1 ． 已知 { a n } 是等比數(shù)列 ， a 2 ＝ 2 ， a 5 ＝14， 則公比 q 等于 ( D ) ( A ) －12 ( B ) － 2 ( C ) 2 ( D )12 解析： 由已知得： a 1 q ＝ 2 ， a 1 q4＝14，兩式相除得 q3＝18， ∴ q ＝12，故選 D. 2 ． 設(shè) { a n } 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列 ， 若 a 1 ＝ 1 ， a 5 ＝ 16 ， 則數(shù)列 { a n } 的前 7 項(xiàng)和為 ( C ) ( A ) 63 ( B ) 64 ( C ) 1 27 ( D ) 128 解析： 設(shè) { a n } 的公比為 q ( q 0 ) ，由 a 5 ＝ a 1 q4＝ q4＝ 16 得 q ＝ 2 ， ∴ S 7 ＝a 1 ? 1 － q7?1 － q＝1 － 271 － 2＝27－ 1 ＝ 127. 故選 C. 3 ． 在正項(xiàng)等比數(shù)列 { a n } 中 ， a 1 和 a 19 為方程 x2－ 10 x ＋ 16 ＝ 0 的兩根 ， 則 a 8 a 10 a 12 等于( C ) ( A ) 32 ( B ) 177。 64 ( C ) 64 ( D ) 256 解析： 由已知可得 a 1 a 19 ＝ 16 ，而 { a n } 為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以 a 10 ＝ 4. 故 a 8 a 10 a 12 ＝ a 103＝64 ，故選 C. 4 ． 已知等比數(shù) 列 { a n } 中 ， 有 a 3 a 11 ＝ 4 a 7 ， 數(shù)列 { b n } 是等差數(shù)列 ， 且 b 7 ＝ a 7 ， 則 b 5 ＋ b 9等于 __ ____ __ ． 解析： ∵ a 3 a 11 ＝ a 72＝ 4 a 7 ， a 7 ≠ 0 ， ∴ a 7 ＝ 4 ， ∴ b 7 ＝ 4. ∵ { b n } 為等差數(shù)列， ∴ b 5 ＋ b 9 ＝ 2 b 7 ＝ 8. 答案： 8 等比數(shù)列的判定與證明 【例 1 】 ( 200 9 年高考陜西卷 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 1 ， a2＝ 2 ， an ＋ 2＝an＋ an ＋ 12， n ∈ N*.
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