【正文】 第二章 一維隨機變量及概率分布 東莞理工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，因而引入 隨機變量 的概念。 那么什么是隨機變量呢？ 新課引入 : 問題 1:某人射擊一次 ,可能出現(xiàn) : 問題 2:某次產(chǎn)品檢查 ,在可能含有次品的 100 件產(chǎn)品中，任意抽取 4 件， 那么其中 含有次品可能是 : 0件， 1件， 2件， 3件， 4件 . 即 ,可能出現(xiàn)的 結(jié)果 可以由 : 0, 1, 2, 3, 4 表示 . 命中 0 環(huán) ,命中 1環(huán) , ,命中 10 環(huán) 等結(jié)果 . ?即 ,可能出現(xiàn)的 結(jié)果 可以由 : 0, 1, ,10 表示 . ?首頁 上頁 下頁 有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，也常常能 聯(lián)系數(shù)值來描述，例如在擲硬幣問題中，每次出現(xiàn)的 結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有關(guān)系，但是我們能用 下面方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來，當(dāng)出現(xiàn)正面時對應(yīng)數(shù) “ 1” ，而出現(xiàn)反面時對應(yīng)數(shù)“ 0”, 為了計算 n次投擲 中出現(xiàn)的正面數(shù)就只須計算其中“ 1” 出現(xiàn)的次數(shù)了。 一般地，如果 A為某個隨機事件，則一定可以通過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系： 如果 A發(fā)生 如果 A不發(fā)生 1,X X ( e ) 0,A ??? ?? 定義 1：隨著隨機試驗結(jié)果變化而變化的變量稱做隨機變量． ② 每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能預(yù)知這個結(jié)果的取值． ① 每一個試驗的結(jié)果可以用一個數(shù)字來表示； 在上面例子中，隨機試驗有下列一個對應(yīng)關(guān)系 : 隨機變量常用字母 Ｘ，Ｙ， ξ 、 η 等表示。 1. 隨機變量 首頁 上頁 下頁 正如對隨機事件一樣，我們所關(guān)心的不僅是試驗會出現(xiàn)的結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)，也即對隨機變量我們不但要知道它取什么數(shù)值，而且要知道它取這些數(shù)值的概率。 引入隨機變量是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的需要。為了便于數(shù)學(xué)推理和計算，有必要將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論與方法來研究隨機試驗，研究和分析其結(jié)果的規(guī)律性，因此， 隨機變量是研究隨機試驗的重要而有效的工具。 例： 將一枚硬幣拋擲 3次，我們感興趣的是三次投擲中，出現(xiàn) H的總次數(shù)，而對 H,T出現(xiàn)的次序不關(guān)心。以 X記三次投擲中出現(xiàn) H的總次數(shù)，那么對于樣本空間 S={e}中的每一個樣本點 e， X都有一個值與之對應(yīng)，即有 樣本點 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 例若取 ，則 ， e H H H? 3X ? ? ? 有 X H H H ?一般地 ,有 ? ?0 , ,1 , , , 。2 , , , 。3 , .e TT Te H TT TH T TT HXee H H T H TH TH He H H H?????? ???? ??事件 等于事件 ? ?,H H T H T H T H H ? ?? ?:2e X e ?因而有 簡記為 ， ? ?2X ?? ? ? ? 32 , , ,8P X P H H T H TH TH H? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 371.8P X P XP H H H? ? ? ? ? ?? ? ?如當(dāng)且僅當(dāng)事件 A={HHT,HTH,THH}發(fā)生時有 {x=2},而且 P(A)=3/8,則 P{x=2}=3/8。 我們注意到，隨機變量的取值隨試驗的結(jié)果而定，而試驗的各個結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率， 因而隨機變量的取值有一定的概率。 ? ?2PX ?定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為 S = ｛ e｝ , X=X(e)是定義在樣本空間 S上的單值實函數(shù)，稱 X=X(e)為定義在 S上的隨機變量 . X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 對于隨機變量 X的取值，以及取這些值的概率，可用下表表示 顯然 , X是定義在樣本空間 S上的單值實“函數(shù)” ,稱 X為隨機變量 . 給定一隨機變量 X, 按其取值情況將隨機變量分為兩類 : (1) 離散型隨機變量 ：隨機變量的可能取值為有 限個或無 限可列個 . (2)連續(xù)型隨機變量 :隨機變量的可能取任何實數(shù)或者在某區(qū)間取值 . 離散型隨機變量及其分布律 . 定義 2：設(shè)隨機變量 X所有可能的不同取值為 取各個可能值的概率分別為 且滿足條件 : 1. 2. 則稱 為隨機變量 X的概率分布律，簡稱分布律 . , , ,nx, , ,np12,xx12,pp0 , 1 , 2 , ,??kpk11,kkp????? ? , 1 , 2 ,? ? ?kkP X x p k?定義中的 2式經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個條件 . X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … 為直觀起見 , 將 X可能取值及相應(yīng)概率列成概率分布表 (或分布律）如下 其中 {X=x1}, {X=x2}, …, { X=xk}, … 構(gòu)成 S的一個完備事件組 . ?一般所說的離散性隨機變量的分布就是指它的概率分布表 . 例 ，共回答 三個問題，求該生答對題數(shù)的概率分布 . 解 設(shè)隨機變量 x表示 該生答對的題數(shù) ， x 0 1 2 3 Pk 1/8 3/8 3/8 1/8 故 x 概率分布表如下 則 x的可能取值為 0， 1， 2， 3， 例 燈，每組信號燈以 1／ 2的概率允許或禁止汽車通過 .以 X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的組數(shù)(設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的 )，求 X的分布律 . 解：以 p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，易知 X的分布律為 X 0 1 2 3 4 pk p (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4 或?qū)懗? P{X=k}=(1p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1p)4 以 p =1/2代入得 X 0 1 2 3 4 pk 兩點分布 : 只有兩個可能取值的隨機變量所服從 的分布 , 稱為兩點分布 . x x1 x2 P p1 p2 概率分布圖為 x p1 p2 x1 x2 其概率分布律為： P(x=xk)=pk (k=1,2) 概率分布表為 : 01分布 : 只取 0和 1兩個值的隨機變量所服從的分布稱為 01分布 . x 0 1 P 1?p p 概率分布圖為 x 1?p p 0 1 1 其概率分布為 P(x =k)=pk(1?p)1?k (k=0,1) 概率分布表為 : 例 4. 一批產(chǎn)品的廢品率為 5%, 從中任意抽取一個進行檢驗 , 用隨機變量 x來描述廢品出現(xiàn)的情況 . x 0 1 P 即 P{x=0}=, P{x=1}=, 或可寫為 P{x=k}=?k (k=0,1) 解 設(shè)隨即變量 x表示抽出的產(chǎn)品 , 則 “ x=0”表示“產(chǎn)品為合格” , “x=1”表示“產(chǎn)品為 廢品“ , 故概率分布表如下 寫出 x的分布 . (1) 二項分布 . 設(shè)試驗 E只有兩個可能結(jié)果： A及 ,則稱 E為 伯努利 (Bernoulli)試驗。 n重伯努利試驗 這樣的 n次獨立重復(fù)試驗稱作 n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型 . 我們重復(fù)地進行 n次獨立試驗 ( “重復(fù) ”是指這次試驗中各次試驗條件相同 )， 每次試驗成功的概率都是 p，失敗的概率 都是 q=1p. 考慮 n重伯努里試驗中，事件 A恰好出現(xiàn) k次的概率 .以 X表示 n重伯努利試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)， X是一個隨機變量， X所有可能取的值為 o， 1， 2， … ， n．由于各次試驗是相互獨立的，故在 n次試驗中，事件 A發(fā)生 k次的概率為 伯努利試驗與二項分布 .,2,1,0,}{1)1(nkqpknkXPpqppknknkknk?????????????????????????，即有，記? ?? ?? ???????????????nknnkknk qpqpknkXPnkkXP0 0)(}{。,2,1,0,0}{ ?顯然).,(~,)(pnBXpnXpqpqpknknknk的二項分布，記為服從參數(shù)為量的那一項，故稱隨機變展開式中出現(xiàn)的剛好是二項式注意到 ??????????的數(shù)值。給出了及這種表是對不同的查，二項分布有現(xiàn)成的表可分布。這就是時二項分布化為特別，當(dāng)),()10(.1,0,}{11pnBpnkqpkXPnkk??????例 .某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為，獨立射擊 400次，試求至少擊中兩次的概率。 .))((400)(1}1{}0{1}2{.400,1,0,)()(400}{399400400??????????????????????XPXPXPkkkXPkk于是所求概率為?解：將一次射擊看成是一次試驗 .設(shè)擊中的次數(shù)為 X,則 X～ B(400， ).X的分布律為 例 ，有 30%的人不經(jīng)治療會自行痊愈 .醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨機地選 10個患此種病的病人服用了新藥，知道其中有 9人很快就痊愈。設(shè)個人自行痊愈與否相互獨立。試推斷這些病人是自行痊愈的還是新藥起了作用 . 解 :假設(shè)新藥毫無效用 ,則一個病人痊愈的概率為 p= 設(shè) X表示 10個人中痊愈的病人數(shù)，則 X～ B（ 10， ） 99109 9 10 10 010 10P { X 9 } C ( 0 .3 ) ( 0 .7 ) 0 .0 0 0 1 3 8P { X 9 } P { X 9 } P { X 1 0 }C ( 0 .3 ) ( 0 .7 ) C ( 0 .3 ) ( 0 .7 )0 .0 0 0 1 4 4? ? ?? ? ? ? ????且什么是小概率事件？它有什么實際意義？ 小概率事件是指一次試驗中發(fā)生的概率很小的事件。但從理論上講，一個事件發(fā)生的概率不論多小，只要不斷重復(fù)試驗下去，事件遲早會出現(xiàn)的，概率是 1。其實際意義是，我們可以借助它判斷事情的真實性。因為根據(jù)實際推斷原理 ,小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的。而某一認為概率很小的事件 ,居然在一次試驗中發(fā)生了 ,人們就有理由懷疑其正確性。 例 4是一小概率事件，且在一次實驗中竟然 發(fā)生了，因此有理由懷疑“新藥毫無效用” 這一假設(shè)的正確性，從而推斷新藥是有功效的 . 例：設(shè)有 80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0． 01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由 4人維護，每人負責(zé) 20臺；其二是由 3人共同維護 80臺． 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。 解 按第一種方法。以 X記 “ 第 1人維護的 20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù) ” ，以 Ai(i＝ 1， 2， 3， 4)表示事件 “ 第 i人維護的 20臺中