函數(shù)極限(limit-of-function)(已修改)
2025-08-07 20:22 本頁(yè)面
【正文】 函數(shù)極限 (Limits of Functions) .xx xsi n 時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀(guān)察函數(shù) ???極限的概念 極限定義 (Definition of a limit) The number L is the limit of the function f(x) as x approaches c (or approaches infinity) if, as the values of x gets arbitrarily (but not equal) to c (or approaches infinity), values of f(x) approach (or equal) L. We write l im ( ) ( o r l im ( ) )x c xf x L f x L? ? ???0 a n d x x x? ? ?極限，即自變量的值無(wú)限趨近但不等于某規(guī)定數(shù)值（或自變量絕對(duì)值無(wú)限增大）時(shí)，函數(shù)值趨近于某個(gè)定值。 設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) 附近有定義 （ 在點(diǎn) 可以無(wú)定義 ） ， 若當(dāng) x無(wú)限接近于 時(shí) ， 函數(shù) f(x)的值無(wú)限接近于常數(shù) A， 則稱(chēng)當(dāng) x趨于 時(shí) ， f(x)以 A為極限 ，記作 或 f(x)→A( x→ ) 0x0l i m ( )xx f x A? ?0x 0x0x0x（ 描述性定義 ） 1. x→x 0時(shí)函數(shù)的極限 C o n s i d e r t h e f u n c t i o n a s 2 : ( ) 3 .x f x x? ? ?x f(x) x f(x) …… x→ 2（ from the left） 2lim ( ) 5x fx?? ? 2lim ( ) 5x fx?? ?2 t he l e f t ha nd l i m i t e qua l s t he rig ht ha nd l i m i t ,we c a n writ e : l i m ( ) 5xIffx??This is called the lefthand limit and is written: This is called the righthand limit and is written: …… …… …… x→2 （ from the right） f(x)→5 f(x)→5 000000I f l im ( ) l im ( ) , th e n ll im (im ) l im ( ) l im (())xxxxxxxxxx x xf x f x A f xf x f x A f x AA???? ??????? ? ?? ? ? ?極限存在定理 設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) 左 (或右 )側(cè)有定義 （ 在點(diǎn) 可以無(wú)定義 ） ， 若當(dāng) x無(wú)限接近于 時(shí) ， 函數(shù) f(x)的值無(wú)限接近于常數(shù) A， 則稱(chēng)當(dāng) x趨于 時(shí) ，f(x)以 A為 左 （ 或右 ） 極限 ， 記作 00xx??（ 或 ）00l i m ( ) l i m ( )x x x xf x A f x A??????（ 或 ）0x 0x00xx??（ 或 ）左極限與有極限統(tǒng)稱(chēng)為 單側(cè)極限（ onesided limit） .左右極限又可分別記為 0000( 0 ) l i m ( ) ( 0 ) l i m ( )x x x xf x f x f x f x????? ? ? ?與2. x→ ∞ 時(shí)函數(shù)的極限 1C o n s i d e r t h e f u n c t i o n a s : ( ) .x f xx? ? ?I f l i m ( ) l i m ( ) ,t h e n l i m ( ) .xxxf x f x Af x A? ? ? ? ? ??????1lim 0x x??? ★ 1lim 0x x??? ?1lim 0x x? ?? ?21020( 1 ) l i m( 2 1 ) ( 2 ) l i m( )1 1 1( 3 ) l i m ( 4 ) l i m 。 l i m xxx x xx x hx x x??? ?? ????Find theExample limit.1l im 0nx x?? ?01l im ?nx x? ?*1nynx?? N（ ）Consider the limit of the function 010( 6 ) ( ) 0 0 。 l im ( )10xxxf x x f xxx?? ? ??????? ???判 斷 是 否 存 在 .0( 5 ) l im [ ] x x?0l im l n ). .x x?? ? ? ? 沒(méi) 有 極 限 ( 極 限 不 存 在例00( ) , l im ( ) .20.xx a xf x f x axx ????? ????己 知 存 在 求 的 值例極限的運(yùn)算法則（ Rules of limits） 0 0 0 0S u p p o s e t h e l i m i t s l i m ( ) a n d l i m g( ) , a n d l i m ( ) A , l i m g( ) B .x x x x x x x xf x x f x x? ? ? ???e x i s tThen 0000 0 00 0 0000l i m C
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