圓錐曲線與方程-知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)(已修改)
2025-08-06 00:12 本頁(yè)面
【正文】 橢圓橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1）．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2）．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；②兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 。橢圓：的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足。（3）頂點(diǎn)：①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，。 ③線段，分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率：①橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。②因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：假設(shè)已知橢圓方程（），且已知橢圓的準(zhǔn)線方程為，試推導(dǎo)出下列式子：（提示：用三角函數(shù)假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)橢圓的另一個(gè)定義：到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。即上圖中有橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，一般而言：橢圓有兩條對(duì)稱軸，它們分別是兩焦點(diǎn)的連線及兩焦點(diǎn)連線段的中垂線；橢圓都有四個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是曲線與它本身的對(duì)稱軸的交點(diǎn)；離心率確定了橢圓的形狀（扁圓形狀），當(dāng)離心率越接近于0，橢圓越圓；當(dāng)離心率越接近于1時(shí)，橢圓越扁。，消元后得到一元二次方程，然
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