d9-6幾何中的應(yīng)用(已修改)
2025-08-05 09:58 本頁面
【正文】 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、空間曲線的切線與法平面 第六節(jié) 一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 引例 : 已知空間曲線 ? 的參數(shù)方程 : ],[)()()(??????????????ttztytx))(),(),(()(),( ttttfzyxr ?????記? 的 向量方程 ],[),( ???? ttfrMr?xzyO 對 ? 上的動點 M , 即 ? 是 此方程確定映射 3R],[: ???f ,稱此映射為一元向量 ，顯然 OMr ? r 的終點 M 的軌跡 , 此 軌跡稱為向量值函數(shù)的 終端曲線 . 值函數(shù) . 要用向量值函數(shù)研究曲線的 連續(xù)性 和 光滑性 ，就需要引進向 量值函數(shù)的極限、連續(xù) 和 導(dǎo)數(shù)的概念 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 : 給定數(shù)集 D ? R , 稱映射 nDf R?: 為 一元向量 值函數(shù) （簡稱向量值函數(shù)） , 記為 Dttfr ?? ),( 定義域 自變量 因變量 向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、 連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān) , 進行討論 . 則設(shè) ,)),(),(),(()( 312 Dttftftftf ??極限 ： 連續(xù) ： 導(dǎo)數(shù) ： 嚴格定義見 P91 ))(lim),(lim),(lim()(lim 3210000tftftftf tttttttt ???? ?)()(lim 00tftftt ??))(),(),(()( 321 tftftftf ????? ttfttftftt Δ)()(lim)( 000 0??????因此下面僅以 n = 3 的情形為代表 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則 : (P92) 設(shè) vu, 是可導(dǎo)向量值函數(shù) , )(t? 是可導(dǎo)的數(shù)量函數(shù) , 則 OCt ?dd)1( )()]([)2( dd tuctuct ??)()()]()([)3( dd tvtutvtut ?????)()()()()]()([)4( dd tuttuttutt ???? ???)()()()()]()([)5( d d tvtutvtutvtut ???????)()()()()]()([)6( d d tvtutvtutvtut ???????C 是常向量 , c 是任一常數(shù) , ? ? ? ?)()()()7( dd tuttut ??? ???目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 : 在 R3中 , 設(shè) Dttfr ?? ),(的終端曲線為 ? , 切線的生成 點擊圖中任意點動畫開始或暫停 M?xzyOrΔ)( 0tf?trΔΔ )Δ(),( 00 ttfONtfOM ???N)()Δ(Δ 00 tfttfr ???)(ΔΔlim 00tftrtt???表示終端曲線在 t0處的 切向量 , 其指向與 t 的增長方 向一致 . )( 0tf?, 則 0)( 0 ?? tf設(shè) r目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義 : 設(shè) )(tfr ? 表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量 , 則有 )()( tftv ??)(tva ?? )(tf ???).(lim,)( s i n)( c o s)(4πtfktjtittf t ???? 求例 1. 設(shè) 速度向量： 加速度向量： 解： ktjtittftttt 4π4π4π4π lim)s i nlim()c o slim()(lim ???? ???kji 4π2 22 2 ??? ))(( 4πf?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 設(shè)空間曲線 ? 的向量方程為 求曲線 ? 上 對應(yīng)于 解 : )62,34,1()( 22 tttttfr ?????的點處的單位切向量 . 故所求單位切向量為 其方向與 t 的增長方向一致 另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為 )31,32,32( ???= 6 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3. 一人懸掛在滑翔機上 , 受快速上升氣
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