定積分在幾何上的應用(已修改)
2025-05-11 05:41 本頁面
【正文】 定積分的元素法 一、什么問題可以用定積分解決 ? 二 、如何應用定積分解決問題 ? 表示為 一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間 [a , b]上的某函數(shù) f (x) 有關的 2) U 對區(qū)間 [a , b] 具有 可加性 , 即可通過 “ 分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 定積分定義 一個整體量 。 二 、如何應用定積分解決問題 ? 第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的 微分表達式 xxfU d)(d ?第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的 積分表達式 ?U xxfba d)(?這種分析方法成為 元素法 (或 微元法 ) 近似值 精確值 四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積 一、 平面圖形的面積 二、 平面曲線的弧長 定積分在幾何學上的應用 一、平面圖形的面積 1. 直角坐標情形 設曲線 與直線 及 x 軸所圍曲 則 xxfA d)(d ?xbaoy )( xfy ?x xx d?xxfA ba d)(??邊梯形面積為 A , 右圖所示圖形面積為 yo b xa)(2 xfy ?)(1 xfy ?xxfxfA ba d)()( 21? ?? x xx d?xxy 22 ?oy4?? xy例 1. 計算拋物線 xy 22 ? 與直線 的面積 . 解 : 由 得交點 )4,8(,)2,2( ?)4,8(yyyA d)4(d 221???18?4?? xy 所圍圖形 )2,2( ?為簡便計算 , 選取 y 作積分變量 , 則有 yyy d????? 4 2Aabxoyx例 2. 求橢圓 解 : 利用對稱性 , xyA
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