【微積分】極限存在準(zhǔn)則(已修改)
2025-05-11 04:14 本頁面
【正文】 第五節(jié) 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重 要極限 一、夾逼準(zhǔn)則 準(zhǔn)則Ⅰ 如果數(shù)列nnyx , 及 nz 滿足下列條件 : ,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn?????????? 那末數(shù)列nx 的極限存在 , 且 axnn???lim . 證 知由 ,lim,lim azay nnnn ?? ????使得,0,0,0 21 ????? NN?,1 ???? ayNn n時(shí)恒有當(dāng)},m a x { 21 NNN ?取 ., 上兩式同時(shí)成立時(shí)則當(dāng) Nn ?,?????? aya n即,2 ???? azNn n時(shí)恒有當(dāng),?????? aza n,?? ?????? azxya nnn,成立即 ??? ax n .lim ax nn ?? ??上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限 準(zhǔn)則Ⅰ′ 如果當(dāng)),(0?xUx??( 或 Mx ? ) 時(shí) , 有 ,)(l im,)(l im)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx?????????? 那末 )(l im)(0xfxxx???存在 , 且等于 A . 注意 : .,的極限是容易求的與并且與鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則 Ⅰ 和 準(zhǔn)則 Ⅰ ′稱為 夾逼準(zhǔn)則 . 例 1 ).12111(l i m 222 nnnnn ?????????求解 ,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??nnnnnn 111l i ml i m2??? ????又,1?22 111lim1limnnnnn??? ???? ,1? 由夾逼準(zhǔn)則得 .1)12111(l i m 222 ????????? nnnnn?解 ,535435 n nn nnnn n ??????,55l i m ??? n nn又 53lim553lim1???????nnn nn由夾逼準(zhǔn)則得 .5543l i m ?????n nnnn.543lim n nnnn????求例 2 x1x 2x 3x 1?nxnx二 、 單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則 滿足條件如果數(shù)列 nx,121 ?? ???? ?nn xxxx 單調(diào)增加 ,121 ?? ???? ?nn xxxx 單調(diào)減少
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