ahp(層次分析法)示例說(shuō)明(已修改)
2025-07-11 08:43 本頁(yè)面
【正文】 AHP(層次分析法)示例說(shuō)明AHP（層次分析法）示例說(shuō)明(The Analgtic Hierarachy ProcessAHP)一. AHP預(yù)備知識(shí)為了更好地理解AHP，需要準(zhǔn)備一些矩陣方面的知識(shí)，以下知識(shí)都可以從《線性代數(shù)》中找到。 特征根與特征向量設(shè)為n階方陣，若存在常數(shù)和非零n維向量，使得 (1)則稱，是矩陣A的特征根（或特征值），非零向量是矩陣A關(guān)于特征根的特征向量。 特征根的求法由(1)得，這是一個(gè)n元一次線性齊次方程組，該方程組如果有非零解，則其充分必要條件為：系數(shù)行列式為零，即 (2)稱(2)式為矩陣A的特征方程，它是一個(gè)一元n次方程，由線性代數(shù)基本定理知，該方程有且只有n個(gè)根。 重量模型設(shè)為n個(gè)物體，重量分別是。但是，我們并不知道物體的重量，只知兩兩之間重量比的比值：設(shè)準(zhǔn)則C為比較重量，問(wèn)題是：已知，在準(zhǔn)則C下對(duì)元素排序，也就是按其重量大小排序已知。對(duì)于以下三個(gè)特性： （1） （2） （3）顯然滿足（1）與（2），但是，（3）式通常不被滿足（因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)或構(gòu)造這么完整的數(shù)據(jù)很難），滿足（1）、（2）的矩陣A為正互反矩陣；滿足（1）、（2）并且（3）也成立時(shí)的矩陣A稱為一致性判斷矩陣。問(wèn)題是：已知判斷矩陣A，在準(zhǔn)則C下對(duì)n個(gè)物體排序。即按重量大小排序。如果，是，是重量的精確值，此時(shí)（3）式必定成立，即A是一致性判斷矩陣。令則帶入計(jì)算。顯見(jiàn)n是方陣A的特征根，g是A的與對(duì)應(yīng)的特征向量；事實(shí)上此時(shí)不難驗(yàn)證：n是方陣A=(aij)的最大特征根，其余n1個(gè)特征根全為零，而g是A的與最大特征根n對(duì)應(yīng)的特征向量。（證明見(jiàn)附錄）g的n個(gè)分量是物體的相對(duì)重量，因此，可按此對(duì)排序。如果對(duì)矩陣A有一個(gè)小的擾動(dòng)，即不再是真實(shí)重量的比值，這時(shí)顯然A不滿足一致性條件，此時(shí)A的最大特征根不再是n；因擾動(dòng)很小，自然離n不遠(yuǎn)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量雖然不會(huì)是n個(gè)物體的真實(shí)重量，但是，變動(dòng)也
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