第五章二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型金融衍生品定價(jià)理論講義(已修改)
2025-07-09 15:50 本頁(yè)面
【正文】 第五章 二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型 這一章我們討論期權(quán)和期貨的二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型，這一模型為理解衍生證券的定價(jià)和套期保值提供了簡(jiǎn)單但有力的餓方法。至今為止，有三種不同的期權(quán)定價(jià)模型。第一種模型是Black和Scholes（1973）建立的。在市場(chǎng)無(wú)摩擦、存在可連續(xù)交易的假設(shè)下，由持有股票的多頭頭寸，和持有以此股票為標(biāo)的物的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸，形成一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套期保值證券組合。這種思路是解決期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的關(guān)鍵。第二種模型是從Harrison和Kreps（1979）開(kāi)始的。在市場(chǎng)無(wú)摩擦和完備的假設(shè)下，市場(chǎng)無(wú)套利等價(jià)于存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度，市場(chǎng)上的任何證券的折現(xiàn)價(jià)格在這個(gè)測(cè)度之下為一個(gè)鞅。第三種是比較直觀的模型。這種模型采用二項(xiàng)分布，是由Cox，Ross和Rubinstern（1979），Rendleman和Bartter（1979）獨(dú)立得到的。前兩種模型需要隨機(jī)微分方程和鞅等復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。除了容易理解外，第三種模型——二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型。不僅為歐式看漲期權(quán)提供閉形式的解，而且在用數(shù)字計(jì)算方法解決更復(fù)雜的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題時(shí)，這種方法也能提供解。所以，我們先在這一章里介紹第三種模型——二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型。該模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）對(duì)它進(jìn)行了拓展。盡管最初提出二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型的目的是為了避開(kāi)隨機(jī)分析來(lái)解釋BlackScholesMerton模型，但現(xiàn)在該模型已成為對(duì)復(fù)雜衍生證券進(jìn)行定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值計(jì)算程序。關(guān)于后兩種模型，我們?cè)谝院蟮恼鹿?jié)中討論。在應(yīng)用二項(xiàng)樹(shù)定價(jià)模型時(shí)，最重要的是合成構(gòu)造（synthetic construction）或者套期保值 (hedging) 的概念。為了給看漲期權(quán)定價(jià)，利用股票和債券去復(fù)制期權(quán)的值。這個(gè)證券組合稱為合成看漲期權(quán)。由無(wú)套利原理，這個(gè)證券組合的成本等于期權(quán)的價(jià)格。合成構(gòu)造的程序不僅給出了期權(quán)的定價(jià)方式，也給出了套期保值的方法。套期保值最形象、最簡(jiǎn)單的例子是有關(guān)保險(xiǎn)中的定價(jià)問(wèn)題。 假設(shè)一種人身保險(xiǎn)，對(duì)象為60歲健康的老人：如果從投保之日起，在一年之內(nèi)被投保人去世，保險(xiǎn)公司支付投保人100000元，否則，保險(xiǎn)公司不支付任何款項(xiàng)。這種險(xiǎn)種的價(jià)格為2300元?，F(xiàn)在，某公司60歲的總裁向你貸款，條件是，如果一年后他還健在，他支付給你100000元，否則，你回收不了任何貸款。問(wèn)題是，你到底應(yīng)該貸多少給這位總裁。 代表這位總裁答應(yīng)支付給你100000元的這份協(xié)議，其實(shí)是你購(gòu)買的一份證券，從這個(gè)角度來(lái)看，問(wèn)題變成，這份證券的價(jià)格為多少？由無(wú)套利原理，這個(gè)價(jià)格顯然依賴于市場(chǎng)上已有的證券：保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。作為投資者，你將利用套期保值來(lái)對(duì)沖投資的風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為=8%。你貸款給公司總裁（即，你以價(jià)格買了一份證券），再花2300元給這位總裁買一份保險(xiǎn)。一年后，如果這位總裁去世，你不能追回任何貸款，但你得到保險(xiǎn)公司的賠償100000元。如果這位總裁健在，保險(xiǎn)公司不會(huì)支付任何賠償，但你按照協(xié)議從這位總裁處得到100000元。所以，無(wú)論哪種情況發(fā)生，你都會(huì)得到100000元。這正是套期保值的實(shí)質(zhì)所在：利用證券彼此在不同狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)對(duì)沖彼此的風(fēng)險(xiǎn)，以達(dá)到整個(gè)證券組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的目的。下表列出了本例中套期保值的過(guò)程。證券不確定事件總裁去世總裁健在成本貸款0100000元保險(xiǎn)100000元02300元總和100000元100000元由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。由此，你現(xiàn)在貸款為=。 我們也可以把上面例子中的套期保值過(guò)程視為由貸款和保險(xiǎn)構(gòu)造出了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。實(shí)際上，由于未來(lái)不確定狀態(tài)只有兩個(gè)，市場(chǎng)中只需要存在兩種不完全相關(guān)的證券就使得市場(chǎng)是完備的，而我們有三種證券（貸
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