中考必做的36道數(shù)學(xué)壓軸題(已修改)
2025-06-19 13:58 本頁面
【正文】 中考必做的36道數(shù)學(xué)壓軸題第一題夯實(shí)雙基“步步高”，強(qiáng)化條件是“路標(biāo)”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐標(biāo)系O中，拋物線（）與軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．解：（1）當(dāng) x ＝ 0 時(shí)， y ＝－2 .∴ A（0，－2）．拋物線對稱軸為 x＝，∴ B（1，0）．（2）易得 A 點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為 A（2，－2）則直線 l 經(jīng)過 A 、 B .沒直線的解析式為 y＝kx＋b則解得∴直線的解析式為 y＝－2x ＋2．（3）∵拋物線對稱軸為 x ＝1拋物體在 2 x3 這一段與在－1x 0 這一段關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在－2x 1這一段位于直線 l 的上方，在 －1 x0 這一段位于直線 l 的下方．∴拋物線與直線 l 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 －1 ；當(dāng) x＝－1 時(shí)， y＝－2x(－1)＋2 ＝4則拋物線過點(diǎn)（－1，4）當(dāng) x＝－1 時(shí)， m＋2m －2＝4 ， m＝2∴拋物線解析為 y＝2x2 －4x－2 . 連接（2013江蘇南京，26，9分）已知二次函數(shù)y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）.（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值.【答案】（1）證明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.因?yàn)楫?dāng)a≠0時(shí)，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn). ………3分（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－）2－，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，－）.當(dāng)y＝0時(shí)，a（x－m）2－a（x－m）＝＝m，x2＝m＋＝1.當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，1＝1.所以1（－）＝1，或1＝1.所以a＝－8，或a＝8.②當(dāng)x＝0時(shí)，y＝am2＋（0，am2＋am）.當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，1＝11（－）=1（am2＋am），或1=1（am2＋am）.所以m＝－，或m＝，或m＝.………9分變式: （2012北京，23，7分）已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，求和的值；（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將（2）中得到的直線向上平移個(gè)單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍?！敬鸢浮浚?）①方法一：∵二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等∴.∴.∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是②方法二：由題意可知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為則∴.∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是.（2）∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn).∴.又∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴∴（3）令解得：由題意知，點(diǎn)B、C間的部分圖象的解析式為，（）.則向左平移后得到圖象G的解析式為：，（）.此時(shí)平移后的一次函數(shù)的解析式為.若平移后的直線與平移后的拋物線相切.則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)的根。∴判別式=解得：與矛盾.∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切.∴結(jié)合圖象可知，如果平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)，則兩個(gè)臨界交點(diǎn)為和.則，解得：，解得：∴第2題“弓形問題”再相逢，“殊途同歸”快突破（例題）（2012湖南湘潭，26，10分） 如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求拋物線的解析式；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是線段下方的拋物線上一點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】解：（1）將B（4，0）代入中，得：∴拋物線的解析式為：（2）∵當(dāng)時(shí)，解得，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0），則OA=1∵當(dāng)x=0時(shí)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,－2），則OC=2在Rt⊿AOC與Rt⊿COB中，∴Rt⊿AOC∽R(shí)t⊿COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠AC
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