中考必做的36道數(shù)學壓軸題(已修改)
2025-06-19 13:58 本頁面
【正文】 中考必做的36道數(shù)學壓軸題第一題夯實雙基“步步高”，強化條件是“路標”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐標系O中，拋物線（）與軸交于點A，其對稱軸與軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）設直線與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．解：（1）當 x ＝ 0 時， y ＝－2 .∴ A（0，－2）．拋物線對稱軸為 x＝，∴ B（1，0）．（2）易得 A 點關于對稱軸的對稱點為 A（2，－2）則直線 l 經過 A 、 B .沒直線的解析式為 y＝kx＋b則解得∴直線的解析式為 y＝－2x ＋2．（3）∵拋物線對稱軸為 x ＝1拋物體在 2 x3 這一段與在－1x 0 這一段關于對稱軸對稱，結合圖象可以觀察到拋物線在－2x 1這一段位于直線 l 的上方，在 －1 x0 這一段位于直線 l 的下方．∴拋物線與直線 l 的交點橫坐標為 －1 ；當 x＝－1 時， y＝－2x(－1)＋2 ＝4則拋物線過點（－1，4）當 x＝－1 時， m＋2m －2＝4 ， m＝2∴拋物線解析為 y＝2x2 －4x－2 . 連接（2013江蘇南京，26，9分）已知二次函數(shù)y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）.（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）、B兩點，與y軸交于點D.①當△ABC的面積等于1時，求a的值；②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值.【答案】（1）證明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.因為當a≠0時，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有兩個不相等的實數(shù)根.所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點. ………3分（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－）2－，所以，點C的坐標為（，－）.當y＝0時，a（x－m）2－a（x－m）＝＝m，x2＝m＋＝1.當△ABC的面積等于1時，1＝1.所以1（－）＝1，或1＝1.所以a＝－8，或a＝8.②當x＝0時，y＝am2＋（0，am2＋am）.當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，1＝11（－）=1（am2＋am），或1=1（am2＋am）.所以m＝－，或m＝，或m＝.………9分變式: （2012北京，23，7分）已知二次函數(shù)在和時的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經過點，求和的值；（3） 設二次函數(shù)的圖象與軸交于點（點在點的左側），將二次函數(shù)的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍?！敬鸢浮浚?）①方法一：∵二次函數(shù)在和時的函數(shù)值相等∴.∴.∴這個二次函數(shù)的解析式是②方法二：由題意可知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為則∴.∴這個二次函數(shù)的解析式是.（2）∵二次函數(shù)的圖象過點.∴.又∵一次函數(shù)的圖象經過點∴∴（3）令解得：由題意知，點B、C間的部分圖象的解析式為，（）.則向左平移后得到圖象G的解析式為：，（）.此時平移后的一次函數(shù)的解析式為.若平移后的直線與平移后的拋物線相切.則有兩個相等的實數(shù)根。即一元二次方程有兩個相等的實數(shù)的根?！嗯袆e式=解得：與矛盾.∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切.∴結合圖象可知，如果平移后的直線與圖象G有公共點，則兩個臨界交點為和.則，解得：，解得：∴第2題“弓形問題”再相逢，“殊途同歸”快突破（例題）（2012湖南湘潭，26，10分） 如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為.（1）求拋物線的解析式；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點是線段下方的拋物線上一點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標.【答案】解：（1）將B（4，0）代入中，得：∴拋物線的解析式為：（2）∵當時，解得，∴A點坐標為（－1，0），則OA=1∵當x=0時，∴C點坐標為（0,－2），則OC=2在Rt⊿AOC與Rt⊿COB中，∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠AC
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