復合函數(shù)的單調(diào)性(已修改)
2025-05-28 03:08 本頁面
【正文】 函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性我們將復習函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性兩部分內(nèi)容．通過本專題的學習，同學們應掌握求函數(shù)值域的常用方法；掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，能用定義判定函數(shù)的單調(diào)性；會判斷復合函數(shù)的單調(diào)性；了解利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般方法．[知識要點]一．函數(shù)的值域求函數(shù)值域的方法主要有：配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、圖象法，利用函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的反函數(shù)、利用已知函數(shù)的值域、利用導數(shù)求值域等．二．函數(shù)的單調(diào)性1．定義如果對于給定區(qū)間上的任意兩個自變量的值xx2，當x1x2時,都有f(x1)f(x2)，那么就稱f(x)在這個區(qū)間是增函數(shù)；如果對于給定區(qū)間上任意兩個自變量的值xx2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就稱f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)．如果y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說y=f(x)在這一區(qū)間上具有嚴格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．注：在定義域內(nèi)的一點處，這個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？函數(shù)的單調(diào)性是就區(qū)間而言，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題．2．函數(shù)單調(diào)性的運算規(guī)律在共同的定義域上，設“f型”是增函數(shù)，“g型”是減函數(shù)，則： （1）f1(x)+f2(x)是增函數(shù)； （2）g1(x)+g2(x)是減函數(shù)； （3）f(x)g(x)是增函數(shù)； （4）g(x)f(x)是減函數(shù)．[典型例題] 一．函數(shù)值域的求法 （一）配方法例1．解：例2 求函數(shù) y=2x+234x(1≤x≤0)的值域解 y=2x+234x =42x322x 令 2x=t 例3．解：∴函數(shù)定義域為[3,5] 例4．若實數(shù)x、y滿足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：∵4y2=4xx2≥0 ∴x24x≤0，即0≤x≤4 ∴當x=4時，Smax=16 當x=0時，Smin=0 ∴值域0≤S≤16例5．已知函數(shù)y=f(x)=x2+ax+3在區(qū)間x∈[1,1]時的最小值為3，求實數(shù)a的值．分析：的位置取決于a，而函數(shù)的自變量x限定在[1，1]內(nèi)，因此，有三種可能性，應分別加以討論．解： 綜合（1）（2）（3）可得：a=177。7 （二）判別式法例6．解 由已知得 (2y1)x2(2y1)x+(3y1)=0 (*) （2）若2y1≠0，則∵x∈R ∴Δ=(2y1)24(2y1)(3y1)≥0 即 (2y1)(10y3)≤0 例7．解 由已知得 (y1)x2+(y4)x(6y+3)=0 (*) ① 若y=1，代入（*）式3x9=0 ∴x=3，此時原函數(shù)分母x2+x6的值為0 ∴y≠1 ② 若y≠1，則∵x∈R ∴Δ=(y4)2+4(y1)(6y+3)≥0 化簡可得(5y2)2≥0，則y∈R 說明：m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x∈R，由Δ≥0求出y的取值范圍，但需注意兩點： （1）要分m(y)=0和m(y)≠0兩種情況討論，只有m(y)≠0時，才可利用判別式； （2）在求出y的取值范圍后，要注意“=”能否取到． （三）換元法例8．解： ∴ymax=1，ymin=23∴原函數(shù)值域23≤y≤1例9．解： （四）利用函數(shù)的單調(diào)性例10．解： 例11． 解： 調(diào)遞減 說明 在利用函數(shù)的單調(diào)性求值域時，應注意如下結論：在共同定義域上，設“f型”是增函數(shù)，“g型”是減函數(shù)，則（1）f1(x)+f2(x)是增函數(shù)；（2）g1(x)+g2(x)是減函數(shù)；（3）f(x)g(x)是增函數(shù)；（4）g(x)f(x)是減函數(shù)．但當兩個單調(diào)函數(shù)之間的運
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