【正文】 【備考 2020】 2020屆全國名校數(shù)學試題分類匯編（ 12 月 第四期） B單元函數(shù)與導數(shù)（含解析） 目錄 B1 函數(shù)及其表示 .................................................. 1 B2 反函數(shù) ....................................................... 6 B3 函數(shù)的單調性與最值 ............................................. 6 B4 函數(shù)的奇偶性與周期性 ........................................... 9 B5 二次函數(shù) ..................................................... 12 B6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) ............................................... 13 B7 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) ............................................... 13 B8 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象 ............................................ 14 B9 函數(shù)與方程 ................................................... 15 B10 函數(shù)模型及其運算 ............................................. 18 B11 導數(shù)及其運算 ................................................ 21 B12 導數(shù)的應用 .................................................. 25 B13 定積分與微積分基本定理 ........................................ 53 B14 單元綜合 .................................................... 54 B1 函數(shù)及其表示 【數(shù)學理卷 2020屆山西省山大附中高三上學期中考試試題（ 202011）】 16． 已知數(shù)列}{na的通項公式為pan ???，數(shù)列}{nb的通項公式為52?? nnb，設??? ???nnnnnnn bab baac ,，若在數(shù)列}{nc中， nc?8 )8,( ?? ? nN，則實數(shù) p的取值范圍是． 【知識點】函數(shù)及其表示數(shù)列的單調性 B1 D1 【答案】)17,12(【解析】解析：由題意可得 nc 是 nnab， 中的較小者， {an}是遞減數(shù)列； {bn}是遞增數(shù)列，因為 8 8nc c n?＞ （ ） ，所以 8c 是 nc 的最大者，則 n=1， 2， 3， ?7 ， 8 時， nc 遞 增， n=8， 9， 10， ? 時， nc 遞減，因此， n=1， 2， 3， ?7 時， 52n np? ??＜ 總成立，當 n=7時， 752 7 1 1pp? ? ? ?＜ ， ＞ ，n=9， 10， 11， ? 時， 52n np? ??＞ 總成立，當 n=9 時，9529p? ??＞ 成立， ∴ p＜ 25，而 8 8 8 8c a c b??或 ，若 a8≤b8 ，即 23≥p 8，所以 p≤16 ，則 758 8 78 8 2 12c a p p b p?? ? ? ? ? ? ?， ＞ ， ＞ ，故 12 16p?＜ ， 若 88ab＞ ，即 8582p ?? ＞ ，所以 p＞ 16， 3882cb? ? ? ， 那么 8 9 9c c a?＞ ，即 8＞ p9， ∴ p＜ 17， 故 16＜ p＜ 17，綜上， 12＜ p＜ 17．故答案為：（ 12， 17）． 【思路點撥】 由 nc 表達式知 nc 是 nnab， 中的較小者，易判斷 {an}是遞減數(shù)列； {bn}是遞增數(shù)列，由 8 8nc c n?＞ （ ） ，所以 8c 是 nc 的最大者，則 n=1， 2， 3， ?7 ， 8時， nc 遞增， n=8，9， 10， ? 時， nc 遞減，進而可知 an與 bn的大小關系，且 8 8 8 8c a c b??或 ，分兩種情況討論，當 8 8 8 7c a a b? 時 ， ＞ ，當 8 8 8 9c b b a? 時 ， ＞ ，分別解出 p的范圍，再取并集即可； 【數(shù)學理卷 2020 屆山西省山大附中高三上學期中考試試題（ 202011）】 12． 已知函數(shù)( ) ln ,exfx ex? ?若 2 2 0 1 2 ( ) ,2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3e e e ab?f ( ) + f ( ) + + f ( ) = 5 0 3則 22ab? 的最小值為（ ） A． 6 B． 8 C． 9 D． 12 【知識點】函數(shù)的性質基本不等式 B1 E6 【答案】 B【解析】解析：因為 ? ? ? ? ? ?? ? 2l n l n l n 2e e xexf x f e x ee x e e x?????? ? ? ? ? ?????? ? ??? ??， 所以 2 2 0 1 2 2 0 1 22 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2e e e ?f ( ) + f ( ) + + f ( ) = 2 = 2 0 1 2，即 4ab?? ，由不等式可得? ?222 82abab ?? ? ?，當且僅當 ab? 時，等號成立，故選擇 B. 【思路點撥】根據(jù)已知函數(shù)的特征結合所求 2 2 0 1 22 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3e e ef ( ) + f ( ) + + f ( )，可得? ? ? ? 2f x f e x? ? ?，即可得 4ab?? ，再利用不等式 ? ?222 2abab ??? ，即可求得 . 【數(shù)學理卷 2020 屆山西省山大附中高三上學期中考試試題（ 202011）】 3． 已知函數(shù) ,0,)21(0,)( 21????????xxxxfx則?? )]4([ff ( ) A. 4? B. 41? C. 4 D. 6 【知識點】分段函數(shù) B1 【 答 案 】 C 【 解 析 】 解 析 ： 因 為 40?? ， 所 以 ? ? 414 162f???? ? ?????， 所 以? ? ? ? ? ? 124 1 6 1 6 4f f f? ? ? ????? ，故選擇 C. 【思路點撥】求解時先從內函數(shù)求起，采用由內到外的順序求得 . 【數(shù)學文卷 2020 屆 江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學、新余四中）高三上學期第二次聯(lián)考（ 202012）】 2 , 1()( 1), 1x xfxf x x? ?? ? ???，則 2(log 5)f = （） 【知識點】分段函數(shù)的函數(shù)值 . B1 【答案】【解析】 C解析 ：∵ 22 log 5 3??，∴ 2(log 5)f =22lo g 5 2 lo g 5 2 52 2 2 4? ?? ? ?， 故選 C. 【思路點撥】先分析 2log5 在哪兩個整數(shù)之間，利用 x≥ 1時的條件，把其變換到 x1的情況，再用 x1時的表達式求解 . 【數(shù)學文卷 2020屆山西省山大附中高三上學期期中考試（ 202011）】 24．（本小題滿分 10分）選修 4－ 5：不等式選講 ： 已知函數(shù) |32||12|)( ???? xxxf ． （ Ⅰ ）求不等式 6)( ?xf 的解集； （ Ⅱ ）若關于 x 的不等式 2)3(lo g)( 22 ??? aaxf 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 ． 【知識點】 帶絕對值的函數(shù) B1 【答案】【解析】 （ Ⅰ ） }21|{ ??? xx （ Ⅱ ） 01 ??? a 或 43 ??a 解析： （ Ⅰ ） 原不等式等價于 于 32(2 1) (2 3) 6xxx? ???? ? ? ? ??或 1322(2 1) (2 3) 6xxx?? ? ???? ? ? ? ??或????????????6)32()12(21xxx 解得 ：2112321223 ????????? xxx 或或. 即不等式的解集為 }21|{ ??? xx ． ???????? 5分 （ Ⅱ ） 不等式 2)3(lo g)( 22 ??? aaxf 等價于 ??? 2)3(log 22 aa |32||1| ??? xx ， 因為 4|)32()12(||32||12| ???????? xxxx ，所以 )(xf 的最小值為 4， 于是 42)3(log 22 ??? aa 即????? ??? ?? 043 0322aa aa所以 01 ??? a 或 43 ??a ． ?10 分 【思路點撥】 （ Ⅰ ）不等式等價于 32(2 1) (2 3) 6xxx? ???? ? ? ? ??或 1322(2 1) (2 3) 6xxx?? ? ???? ? ? ? ??或????????????6)32()12(21xxx 分別求出這 3個不等式組的解集，再取并集，即得所求． （ Ⅱ ） 不等式 2)3(lo g)( 22 ??? aaxf 等價于 ??? 2)3(log 22 aa |32||1| ??? xx ， )(xf 的最小值為 4，于是 42)3(log 22 ??? aa 即可求解 . 【數(shù)學文卷 2020屆山西省山大附中高三上學期期中考試（ 202011）】 12．已知函數(shù)2lg ( ) , 0() 6 4 , 0xxfx x x x? ? ?? ? ? ? ??若關于 x 的函數(shù) 2 ( ) ( ) 1y f x bf x? ? ?有 8個不 同的零點，則實數(shù)b 的取值范圍是（） A． ),2( ?? B． ),2[ ?? C． )417,2( D． ]417,2( 【知識點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷 B1 【答案】【解析】 D解析： ∵ 函數(shù)2lg ( ) , 0() 6 4 , 0xxfx x x x? ? ?? ? ? ? ??，作出 fx（ ） 的簡圖，如圖所示： 由圖 象可得當 fx（ ） 在 04]（ ， 上任意取一個值時，都有四個不同的 x與 fx（ ） 的值對應． 再結合題中函數(shù) 2 ( ) ( ) 1y f x bf x? ? ?有 8個不同的零點， 可得關于 k的方程 2 10k bk? ? ? 有兩個不同的實數(shù)根 12kk、 ，且 120 4 0 4kk??＜ ， ＜ ． ∴ 應有2 4004 20 0 1 016 4 1 0bbbb??? ? ??????????? ??＞＜ ＜＞，解得 17 24b?＜，故選 D． 【思路點撥】 方程 2 ( ) ( ) 1 0y f x bf x? ? ? ?有 8 個不同實數(shù)解，即要求對應于 fx（ ） 等于某個常數(shù) k，有 2個不同的 k，再根據(jù)函數(shù)對應法則，每一個常數(shù)可以找到 4個 x與之對應，就出現(xiàn)了 8個不同實數(shù)解故先根據(jù)題意作出 fx（ ） 的簡圖：由圖可知，只有滿足條件的 k在開區(qū)間 04]（ ， 時符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布的理論可以得出答案 . 【數(shù)學文卷 2020屆山東省實驗中學高三上學期第二次診斷性考試（ 202011）】 ??fx滿足 ,0m R m? ? ? ，對定義域內的任意 ? ? ? ? ? ?,x f x m f x f m? ? ?恒成立，則稱 ??fx為m函數(shù)，現(xiàn)給出下列函數(shù)： ① 1y x? ； ② 2yx? ； ③ sinyx? ； ④ lnyx? . 其中是 m函數(shù)的是 ______________ 【知識點】函數(shù)及其表示 B1 【答案】②③ 【解析】若 ， ，則由 得： ，化為 ，由于 ，故式子不成立，因而①中的函數(shù)不是 m函數(shù)；若，則由 得： ，顯然式子成立，故②中的函數(shù)是 m函數(shù)；若 ， ，則由 得： ，取 ，則式子恒成立，故③是 m函數(shù)；若 ， ，則由 得： ，化為 ，當 x變化時， m 也變化，故函數(shù) 不滿足 對定義域內的任意 恒成立，綜上，②③是 m函數(shù)。 【思路點撥】 本題是新定義一個函數(shù)，然后判斷給出的函數(shù)是否符合定義。做此類題目，重點是理解定義。 B2 反函數(shù) B3 函數(shù)的單調性與最值 【數(shù)學理卷 2020 屆山東省實驗中學高三上學期第 二次診斷性考試（ 202011）】 ?