【正文】 數(shù)，用函數(shù)思想求解． B10 函數(shù)模型及其運算 【數(shù)學理卷 【數(shù)學理卷 2 2 sin , 39。（ x） +x+1=（ x﹣ k）（ ex﹣ 1） +x+1 故當 x＞ 0時，（ x﹣ k） f180。 【思路點撥】 先計算 39。 2 2 c os 0f x x x f x x? ? ? ? ?，所以函數(shù) 39。 （ 1）求數(shù)列??na、 n的通項公式； （ 2）記數(shù)列 nb的前 n項和為 nT,若對任意的??Nn，6323 ???????? ? nTk n恒成立， 求實數(shù) k的取值范圍。 2020屆河北省唐山一中高三 12月調(diào)研考試（ 202012）】 21.（本小題滿分 12分） 已知函數(shù)( ) lnf x x a x??在 1x?處的切線 l與直線20xy??垂直，函數(shù)21( ) ( ) 2g x f x x bx? ? ?． (1)求實數(shù) a的值； (2)若函數(shù)()gx存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù) b的取值范圍； (3)設(shè) 1 2 1 2, ( )x x x x? 是函數(shù)()gx的兩個極值點，若72b?，求( ) ( )g x g x?的最 小 值． 【知識點】導數(shù)的應用 B12 【答案】 （ 1） 1a?(2)? ?3,??(3)15 2ln28 ? 【解析】 （ 1） ∵( ) lnf x x a x??， ∴( ) 1 afx x?. ∵ l與直線20xy??垂直， ∴1 12xk y a??? ? ? ?， ∴ 1a?. （ 2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1111l n 1 , 12 x b xg x x x b x g x x bxx ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由題知? ? 0gx? ?在? ?0,??上有解， 0x?設(shè)? ? ? ?2 11u x x b x? ? ? ?，則? ?0 1 0u ??，所以只需? ? 21 0 12 31 4 0b bbb?? ? ?????? ???? ? ? ? ?? 或 b1故 b的取值范圍是? ?3,??. (3)? ? ? ? ? ?2 111 1 x b xg x x bxx ? ? ?? ? ? ? ? ?，所以令 ? ? 0gx? ?1 2 1 21, 1x x b x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 2 1 1 1 2 2 211l n 1 l n 122g x g x x x b x x x b x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?221 1 1 21 2 1 22 2 2 111l n 1 l n22x x x xx x b x xx x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?????120 xx?? 所以設(shè)? ?12 01ttx? ? ?? ? ? ?11ln 0 12h t t t tt??? ? ? ? ?????? ? ? ? 222 11 1 11022 tht t t t???? ? ? ? ? ? ?????，所以??ht在?0,1單調(diào)遞減，? ?27 25124bb? ? ? ?又 ? ? ? ? 22 1212 12x 1 25x2 4xxtx x t?? ? ? ? ? ??即 ? ?2 1 1 150 1 , 4 17 4 0 , 0 , 2 l n 24 4 8t t t t h t h ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 故所求的最小值是15 2ln28 ? 【思路點撥】根據(jù)導數(shù)的意義求出 a值，利用單調(diào)性求出最小值。 2020屆江蘇省揚州中學高三上學期質(zhì)量檢測（ 12月） （ 202012）】 19. （本小題滿分 16分） 設(shè)函數(shù) 21( ) ln ( ) .2 af x x a x x a R?? ? ? ? （ 1）當 1a? 時，求函數(shù) ()fx的極值； （ 2）當 1a? 時，討論函數(shù) ()fx的單調(diào)性 . （ 3）若對任意 (3,4)a? 及任意 12, [1,2]xx? ，恒有 212( 1 ) ln 2 ( ) ( )2a m f x f x? ? ? ?成立，求實數(shù) m 的取值范圍 . 【知識點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用． B12 【答案 】【 解析】 （ 1） 當 01x??時， 39。 （ 1）若 1x?是函數(shù)()fx的一個極值點，求 a的值； （ 2） 當 0＜ a≤2 時，試判斷 f（ x）的單調(diào)性； （ 3） 若對任意的? ?2,1?a存在? ?0 1,2?，使不等式 0( ) lnf x m a?恒成立，求實數(shù) m的取值范圍 。 2020屆黑龍江省大慶市鐵人中學高三 12月月考（期中）（ 202012）】 22.（ 12分）已知bxaxxxf ??? 2ln)(. （ 1）若 1??a，函數(shù))(xf在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求 b的取值范圍； （ 2）當 1a， 1??b時，證明函數(shù))(xf只有一個零點； （ 3）)(xf的圖象與 軸交于)0,( 1xA,)0,( 2xB( 2x?)兩點， AB中點為),( 00xC，求證： 00 ?? )(xf． 【知識點】導數(shù)的應用 B12 【答案】（ 1）( ,2 2]??（ 2）略（ 3）略 【 解析】（ 1）依題意： f(x)＝ lnx＋ x2－ bx．∵ f(x)在 (0，＋ ∞) 上遞增， ∴1( ) 2 0f x x bx? ? ? ? ?對 x∈ (0，＋ ∞) 恒成立， 即1 2x??對 x∈ (0，＋ ∞) 恒成立，只需min1( 2 )x??． ∵ x＞ 0，∴1 2 2x??，當且僅當22?時取 “ ＝ ” ， ∴ 22b?，∴ b的取值范圍為( ,2 2]??． （ 2）當 a＝ 1， b＝－ 1時， f(x)＝ lnx+x2＋ x，其定義域是 (0，＋ ∞) ， 分）上單調(diào)遞增，又，在（分602)1(,0111)1(0)(5012121)(22????????????????????????????????????feeefxfxxxxxxf?． ∴函數(shù) f(x)只有一個零點． （ 3）由已知得221 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1( ) l n 0 l n( ) l n 0 l nf x x ax bx x ax bxf x x ax bx x ax bx??? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ???， 兩式相減，得1 1 2 1 2 1 22ln ( ) ( ) ( )x a x x x x b x xx ? ? ? ? ? 1 1 2 1 22ln ( ) [ ( ) ]x x x a x x bx? ? ? ? ?． 由1( ) 2f x ax bx? ? ? ?及 2x0＝ x1＋ x2，得 10 0 1 20 1 2 1 2 1 2 21 2 2 1( ) 2 [ ( ) ] l n xf x ax b a x x bx x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 11 2 1 2 111 2 1 2 2 1 2 222( 1 )2( )11[ l n ] [ l n ]( 1 )xx x x x xxx x x x x x x xx??? ? ? ?? ? ?? 令 t= 12xx ∈ （ 0， 1）且 ?(t)=221tt?? lnt（ 0＜ t＜ 1） ∴ ?′ (t)= 22( 1)( 1)ttt?? ＜ 0 ∴ ?（ t）在（ 0， 1）上遞減， ∴ ?（ t）＞ ?（ 1） =0x1＜ x2， f′ （ x0）＜ 0。 2020屆山西省山大附中高三上學期期中考試（ 202011）】 21.（本題 滿分 12分）已知 aR? ，函數(shù) 32( ) 2 3 ( 1 ) 6f x x a x ax? ? ? ? （ Ⅰ ）若 1a? ，求曲線 ()y f x? 在點 (2, (2))f 處的切線方程 . （ Ⅱ ) 若 | | 1a? ，求 ()fx在閉區(qū)間 [0,2| |]a 上的最小值 . 【知識點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 ； 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 B11 B12 【答案】【解析】 （ Ⅰ ） 6 8 0xy? ? ? （ Ⅱ )當 1a? 時，函數(shù) ()fx的 最小值是 233aa? ， 當 1a?? 時，函數(shù) ()fx的 最小值是 31a? . 解析： （ Ⅰ ） 當 1a? 時， 26 12 6f x x x? ? ? ?（ ） ，所以 26f??（ ） 24f ??（ ） ， 曲線 y f x?（ ） 在點 22f（ ， （ ） ） 處的切線方程為 68yx??； （ Ⅱ ）記 ga（ ） 為 fx（ ） 在閉區(qū)間 [0 ]2a， 上的最小值． ? ? ? ?26 6 1 6 6 1f x x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） 令 0fx??（ ） ，得到 121x x a??， 當 1a＞ 時， 比較 00f ?（ ） 和 2 3f a a a??（ ） （ ）的大小可得 ? ?20 1 333aga a a a???? ? ???， ＜（ ） ， ＞； 當 1a ?＜ 時， 31g a a? ? ?（ ） fx?（ ） 在閉區(qū)間 [0 ]2a， 上的最小值為? ?23 1 10 1 333aag a aa a a? ??????? ??， ＜（ ） ， ＜， ＞． 【思路點撥】 （ Ⅰ ）求導函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可求曲線 y=f（ x）在點（ 2， f（ 2））處的切線方程； （ Ⅱ ）分類討論，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值，即可得到最值 【數(shù)學文卷（ x） +x+1＞ 0 在 x＞ 0 時成立轉(zhuǎn)化為 k＜ （ x＞ 0）成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求 g（ x） = 在 x＞ 0上的最小值問題，求導，確定出函數(shù)的最小值，即可得出 k的最大值 . 【數(shù)學文卷 2 2 c os 0f x x x f x x? ? ? ? ?，所以函數(shù) 39。 2020屆重慶市巴蜀中學高三 12月月考（ 202012）】 某市近郊有一塊大約 500米 500 米 的接近正方形的荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，首先要建設(shè)如圖所示的一個總面積為 3 000 平方米矩形場地，其中陰 影部分為通道，通道寬度為 2 米，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動場地占地面積為 S平方米． （ 1） 分別用 x表示 y和 S的函數(shù)關(guān)系式，并給出定義域； （ 2） 怎樣設(shè)計能使 S取得最大值，并求出最大值． 【知識點】函數(shù)模型的選擇與應用 . B10 【答案】【解析】（ 1） 3000yx?，其定義域是（ 6,500）， 150003 0 3 0 6Sxx??? ? ?????，其定義域是（ 6,500）；（ 2）設(shè)計 x=50m， y=60m時，運動場地 面積最大，最大值為 2430平方米 .解析 ：（ 1）由已知 xy=3000，得 3000yx?，其定義域是（ 6,500） . ( 4) ( 6) ( 2 10)S x a x a x a? ? ? ? ? ?， ∵ 2a+6=y，∴ 1500332ya x? ? ? ?， ∴ ? ? 1 5 0 0 1 5 0 0 02 1 0 3 3 0 3 0 6S x xxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，其定義域是（ 6,500） . （ 2） 1 5 0 0 0 1 5 0 0 03 0 3 0 6 3 0 3 0 2 6 3 0 3 0 2 3 0 0 2 4 3 0S x xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 當且僅當 15000 6 5 0 ( 6 , 5 0 0 )xxx ? ? ? ?時，上述不等式等號成立， 此時， x=50， y=60， max 2430S ? . 答：設(shè)計 x=50m， y=60m時，運動場地面積最大，最大值為 2430平方米 . 【思路點撥】（ 1）由圖易得 y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系及其定義域，再找到用 y 表示 a 的式子，由( 4) ( 6) ( 2 10)S x a x a x a? ? ? ? ? ?得 S 關(guān)于 x 的函數(shù)及其定義域；（ 2）利用基本不等式求得運動場地面積的最大值，及運動場地面積取得最大值的條件 . 【數(shù)學文卷()fx在 R上單調(diào)遞增，則選 A. 【思路點撥】一般判斷函數(shù)的圖像，可結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性及特殊位置的函數(shù)值或函數(shù)值的符號等進