【正文】 2） )1)(1(2)1(22 2 ?????? nnnb n? )1111(4121 ?????? nnb n 231 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l im ( ) l im [ ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 4 3 2 4 3 5 1 1nn nb b b n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?83)]11123[(41lim ????? ?? nnn 1 (四川省成都市高 2020 屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè) )已知函數(shù) f(x)＝ x－ ln(x＋ a)在 x＝ 1 處取得極值 . (1)求實(shí)數(shù) a 的值； 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) (2)若關(guān)于 x 的方程 f(x)＋ 2x＝ x2＋ b 在 [12， 2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； (3)證明： ∑nk＝ 21k－ f(k)＞3n2－ n－ 2n(n＋ 1) (n∈ N， n≥2).參考數(shù)據(jù)： ln2≈. 解： (1)f 39。 2 1 01 af x xx? ? ?? 所以 ? ?39。 ?????? ????? exfexxf 單調(diào)遞增區(qū)間是解得令?? 4 分 (Ⅱ ) (ⅰ )0tt+2e1 ， t 無(wú)解； ?? 5 分 (ⅱ )0te1 t+2，即 0te1 時(shí)， eefxf 1)1()(m in ???； ?? 7 分 (ⅲ )e1 2??? tt ，即 et 1? 時(shí)， 單調(diào)遞增在 ]2,[)( ?ttxf ， tln t)t()( m in ?? fxf ?? 9 分 etetxf 110tl n te1)( m in????????? ， ?? 10 分 (Ⅲ )由題意 : 2123ln2 2 ???? axxxx 即 123ln2 2 ??? axxxx ? ???? ,0x? 可得 xxxa 2123ln ??? ?? 11 分 設(shè) ? ? xxxxh 2123ln ??? , 則 ? ? ? ?? ?2239。 知 0)1(,1 ???? fx 取得極大值時(shí) ???? 2 分 axxxxf 2124)( 3 ????? ???? 3 分 402124 ?????? aa ???? 4 分 （ II）函數(shù) )(1)( 2 xfbxxg 的圖象與函數(shù)?? 的圖象恰好有 3 個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程 .31144 2234 個(gè)不等實(shí)根恰有????? bxxxx ???? 6 分 0)4(41144 2342234 ?????????? xbxxbxxxx 0?x? 是其中一個(gè)根， ???? 8 分 4004 0)4(4160)4(42?????? ?? ??????????bbb bbxx且有兩個(gè)非零不等實(shí)根方程 故存在實(shí)數(shù)： 40 ?? bb 且 ???? 12 分 16 、 ( 廣 東 省 廣 州 市 20202020 學(xué) 年 高 三 第 一 學(xué) 期 中 段 學(xué) 業(yè) 質(zhì) 量 監(jiān) 測(cè) ) 已知? ? ? ? 2,ln 23 ????? xaxxxgxxxf (Ⅰ )求函數(shù) ??xf 的單調(diào)區(qū)間 。 當(dāng) 0 xe??時(shí) , ( ) 0ux? ? . ∴ 1( ) ( )u x u e e??極 大， 當(dāng) 0x ?? 時(shí) , ln() xux x? ? ??； 當(dāng) x??? 時(shí) , lnlim ( ) lim 0xxxux x? ?? ? ????， 但此時(shí) ( ) 0ux? ， 此時(shí)以 x 軸為漸近線 。 當(dāng) ),( ??? ea 時(shí)， 0)ln1(21)( ??? aaaf 因?yàn)?021)1( ??f 且 a?1 ，所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),0( a 上有惟一解， 因?yàn)楫?dāng) 1?x 時(shí)， 0)ln( ??? xx ，所以 1ln ?? xx 所以 axxxaxxfxx ????? 22 21ln21)(,ln ， 因 為 12 ?? aa ， 所 以02)2(21)( 22 ??? aaxf ， 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ??a 上有惟 一解。又 ,32)1(,0)0( ?? ff ,158)2( ?f ?當(dāng) )2,0(?x 時(shí) )(xf 的值域是 ?????? 32,0； 方法二：當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf =0；當(dāng) ]2,0(?x 時(shí) )(xf ,32121341134 ???????xxxx當(dāng)且僅當(dāng)1,1 ?? 即xxx 時(shí) )(xf 的值域是 ?????? 32,0 ； （ 2） 設(shè)函數(shù) )(xg 在 ? ?2,0 的值 域是 A ，∵ 對(duì)任意 ? ?2,01?x ， 總存 在 ? ?2,02?x ，使0)()( 21 ?? xgxf 。 6 分 （Ⅱ）（?。┊?dāng) 0a≤ 時(shí)， 由于 ? ?l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n( 1 ) l n ( 1 ) l n( ) 011 x x x xx x x xfx xx ? ? ? ?? ? ?? ? ???， 故關(guān)于 x 的不等式 ()f x a≥ 的解集為 (0 )?， ∞ ． 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 本資料來(lái)源于《七彩教育網(wǎng)》 2020 屆全國(guó)名校高三數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編 (上 ) 12 導(dǎo)數(shù)與極限 三、解答題 (河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 20202020 學(xué)年高三第二次月考 )設(shè)函數(shù) ln( ) ln ln ( 1 )1 xf x x xx? ? ? ??． （ Ⅰ ）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； （ Ⅱ ）是否存在實(shí)數(shù) a，使得關(guān)于 x 的不等式 ()f x a≥ 的解集為（ 0， +? ）？若存在，求a 的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由． 本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．滿分 14 分． 解：（Ⅰ）221 l n 1 1 l n() ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 )xxfx x x x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． ∴ ?????? 32,0 ,A?對(duì)函數(shù) )(xg 求導(dǎo)， axg ?? )( 22 ax ? ， ① 當(dāng) 0),2,0( ?? ax 時(shí)，函數(shù) )(xg 在 )2,0( 上單調(diào)遞減， ,0238)2(,0)0( 2 ???? aagg ∴當(dāng) ? ?2,0?x 時(shí)，不滿足 ?????? 32,0 A? ； ② 當(dāng) 0?a 時(shí)， axg ?? )( ))(( axax ?? ，令 ,0)( ?? xg 得 a或xax ??? （舍去）， （ i）當(dāng) ? ?2,0?x ， 20 ?? a 時(shí)，列表 x 0 ),0( a a )2,( a 2 )(xg? － 0 ＋ )(xg 0 ? aa232? ? 2238 aa?? 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) ∵ ,0)(,0)0( ?? agg 又∵ ?????? 32,0 A?，∴ ,32238)2( 2 ??? aag解得 .131 ??a (ii）當(dāng) 2),2,0( ?? ax 時(shí) , 0)( ?? xg ,∴函數(shù) )(xg 在 )2,0( 上單調(diào)遞減， ,0)0( ?g 0238)2( 2 ??? aag ,∴當(dāng) ? ?2,0?x 時(shí)，不滿足 ?????? 32,0 A? .綜上 ,實(shí)數(shù) a 的取值范圍是??????1,31 . (江西省南昌二中 2020～ 2020 學(xué)年度第一輪第二次段考 )已知函數(shù) ()fx 的導(dǎo)數(shù)2( ) 3 3 ,f x x ax? ??(0) .fb? ,ab為實(shí)數(shù)， 12a??. （Ⅰ）若 ()fx在區(qū)間 [ 1, 1]? 上的最小值、最大值分別為 2? 、 1，求 a 、 b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2, 1)P 且與曲線 ()fx相切的直線 l 的方程； （Ⅲ）設(shè)函數(shù) 2( ) [ ( ) 6 1 ] xF x f x x e?? ? ? ?，試判斷函數(shù) ()Fx的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解：（Ⅰ）由已知得， 323() 2f x x a x b? ? ?, 由 ( ) 0fx? ? ，得 1 0x? ， 2xa? ． ∵ [ 1, 1]x?? ， 12a?? ，∴ 當(dāng) [ 1, 0)x?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ， ()fx 遞增；當(dāng) (0, 1]x? 時(shí)，( ) 0fx? ? ， ()fx 遞減．∴ ()fx在區(qū)間 [ 1, 1]? 上的最大值為 (0)fb? ，∴ 1b? ． 又 33(1 ) 1 1 222f a a? ? ? ? ?， 33( 1 ) 1 122f a a? ? ? ? ? ? ?，∴ ( 1) (1)ff?? ． 由題意得 ( 1) 2f ? ?? ，即 3 22a? ?? ，得 43a? ． 故 43a? ， 1b? 為所求． （Ⅱ）解：由（ 1）得 32( ) 2 1f x x x? ? ?， 2( ) 3 4f x x x? ??，點(diǎn) (2, 1)P 在曲線 ()fx上． ⑴ 當(dāng)切點(diǎn)為 (2, 1)P 時(shí)，切線 l 的斜率 2( ) | 4xk f x ????， ∴ l 的方程為 1 4( 2)yx? ? ? ，即 4 7 0xy? ? ? ． ⑵當(dāng)切點(diǎn) P 不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為 00( , )Qx y 0( 2)x ? ，切線 l 的斜率0 200( ) | 3 4xxk f x x x??? ? ?， ∴ l 的 方 程 為 20 0 0 0( 3 4 ) ( )y y x x x x? ? ? ?． 又 點(diǎn) (2, 1)P 在 l 上 ， ∴ 20 0 0 01 ( 3 4 ) ( 2 )y x x x? ? ? ?， ∴ 3 2 20 0 0 0 01 ( 2 1 ) ( 3 4 ) ( 2 )x x x x x? ? ? ? ? ?，∴ 220 0 0 0 0( 2 ) ( 3 4 ) ( 2 )x x x x x? ? ? ?， ∴ 220 0 034x x x??，即 002 ( 2) 0xx??，∴ 0 0x? ． ∴ 切線 l 的方程為 1y? ． 故所求切線 l 的方程為 4 7 0xy? ? ? 或 1y? ． （Ⅲ）解： 2 2 2 2( ) ( 3 3 6 1 ) 3 3 ( 2 ) 1xxF x x a x x e x a x e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???． ∴ ? ? 2 2 2( ) 6 3 ( 2 ) 2 3 3 ( 2 ) 1xxF x x a e x a x e? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???22[ 6 6 ( 3 ) 8 3 ] xx a x a e? ? ? ? ? ?． 二次函數(shù) 26 6( 3 ) 8 3y x a x a? ? ? ? ?的判別式為 2 2 23 6 ( 3 ) 2 4 ( 8 3 ) 1 2 ( 3 1 2 1 1 ) 1 2 3 ( 2 ) 1a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???，令 0?? ， 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 得： 2 1 3 3( 2 ) , 2 2 .3 3 3aa? ? ? ? ? ?令 0?? ，得 332 , 2 .aa? ? ? ?或 ∵ 2 0xe ? ， 12a??，∴當(dāng) 3223 a??－ 時(shí)， ( ) 0Fx? ? ，函數(shù) ()Fx 為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為 0； 當(dāng) 3123a? ? ? 時(shí)，此時(shí)方程 ( ) 0Fx? ? 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義， 可知函數(shù) ()Fx有兩個(gè)極值點(diǎn)． 5 、 ( 江 西 省 南 昌 二 中 2020 ～ 2020 學(xué) 年 度 第 一 輪 第 二 次 段 考 ) 已 知 函 數(shù)xaxxf ln21)( 2 ?? )( Ra? ， （Ⅰ）若函數(shù) )(xf 在 ),1( ?? 為增函 數(shù)，求 a 的取值范圍； （Ⅱ）討論方程 0)( ?xf 解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由 . 解：（ 1）若函數(shù) )(xf 在 ),1( ?? 上恒成立。所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ??e 上有惟兩解。 ① 當(dāng) 2 1mee??即 2 1mee??時(shí) ,方程無(wú)根 。 (Ⅱ )求函數(shù) ??xf 在 ? ?,2tt? ? ?0t? 上的最小值 。 2 1312 1231 x xxxxxh ????????? 12 分 令 ? ? 039。 3 6 1 0 04af ? ? ? ? 因此 16a? （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ? ? ? ? ? ?216 l n 1 10 , 1 ,f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?239。(x)＝ 1＋ 1x＋ a，由題意，得 f 39。 (3)∵ k－ f(k)＝ lnk ∴ ∑nk＝ 21k－ f