【正文】 18 ( 大 慶 鐵 人 中 學(xué) 2020 屆 高 三 上 學(xué) 期 期 中 考 試 ) 已 知 數(shù) 列,6)1)(1()1(}{ 21 ????? ? aanana nnn 且滿足條件 *).( Nnnab nn ???設(shè) 23( 1 ) { }1 1 12 l im ( )2 2 2nn nbb b b?? ? ? ?? ? ?求 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 ；（ ） 求 的 值 。 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 解 ：（ 1） 15)1(326,11 232 ??????? aanaan n ，；當(dāng)且時(shí)，當(dāng) .28,228)1(42,3 434 ?????? aaan 時(shí)當(dāng) ,13,9,5 342312 ?????? aaaaaa由 猜想 141 ???? naa nn 從而 1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ?? ?121597434 ????????? nnnn ? nnan ??? 22 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： nnan ?? 22 當(dāng) 4,3,2,1?n 時(shí)，等式 nnan ?? 22 已成立。 假設(shè)當(dāng) 2( 2) 2kn k k a k k? ? ? ?時(shí) ， 211 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )k k k kkk a k a a k k k k?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???則 由 由)12)(1( ??? kk )1()1(2132 22 ??????? kkkk 即 也成立時(shí)，等式 nnakn n ???? 221 因此對任何 2* , 2nn N a n n? ? ? 成 立 所以 22nnab nn ??? （ 2） )1)(1(2)1(22 2 ?????? nnnb n? )1111(4121 ?????? nnb n 231 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l im ( ) l im [ ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 4 3 2 4 3 5 1 1nn nb b b n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?83)]11123[(41lim ????? ?? nnn 1 (四川省成都市高 2020 屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測 )已知函數(shù) f(x)＝ x－ ln(x＋ a)在 x＝ 1 處取得極值 . (1)求實(shí)數(shù) a 的值； 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) (2)若關(guān)于 x 的方程 f(x)＋ 2x＝ x2＋ b 在 [12， 2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； (3)證明： ∑nk＝ 21k－ f(k)＞3n2－ n－ 2n(n＋ 1) (n∈ N， n≥2).參考數(shù)據(jù)： ln2≈. 解： (1)f 39。(x)＝ 1＋ 1x＋ a，由題意，得 f 39。(1)＝ 0 ? a＝ 0 ?? 239。 (2)由 (1)知 f(x)＝ x－ lnx ∴ f(x)＋ 2x＝ x2＋ b ? x－ lnx＋ 2x＝ x2＋ b ? x2－ 3x＋ lnx＋ b＝ 0 設(shè) g(x)＝ x2－ 3x＋ lnx＋ b(x＞ 0) 則 g39。(x)＝ 2x－ 3＋ 1x＝ 2x2－ 3x＋ 1x ＝(2x－ 1)(x－ 1)x ?? 439。 當(dāng) x 變化時(shí)， g39。(x)， g(x)的變化情況如下表 x (0， 12) 12 (12， 1) 1 (1， 2) 2 g39。(x) ＋ 0 － 0 ＋ G(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ b－ 2＋ ln2 ?? 639。 當(dāng) x＝ 1 時(shí)， g(x)最小值 ＝ g(1)＝ b－ 2， g(12)＝ b－ 54－ ln2， g(2)＝ b－ 2＋ ln2 ∵ 方程 f(x)＋ 2x＝ x2＋ b 在 [12， 2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 由???g(12)≥0g(1)＜ 0g(2)≥0 ? ???b－ 54－ ln2≥0b－ 2＜ 0b－ 2＋ ln2≥0 ? 54＋ ln2≤b≤2 ?? 939。 (3)∵ k－ f(k)＝ lnk ∴ ∑nk＝ 21k－ f(k)＞3n2－ n－ 2n(n＋ 1) ? 1ln2＋ 1ln3＋ 1ln4＋ … ＋ 1lnn＞ 3n2－ n－ 2n(n＋ 1) (n∈ N， n≥2) ?? 10’ 設(shè) Φ(x)＝ lnx－ 14(x2－ 1) 則 Φ39。(x)＝ 1x－ x2＝ 2－ x22x ＝－(x＋ 2)(x－ 2)2x 當(dāng) x≥2 時(shí)， Φ39。(x)＜ 0 ? 函數(shù) Φ(x)在 [2， ＋ ∞)上是減函數(shù)， ∴ Φ(x)≤Φ(2)＝ ln2－ 34＜ 0 ? lnx＜ 14(x2－ 1) ?? 1239。 ∴ 當(dāng) x≥2 時(shí)， 1lnx＞ 4x2－ 1＝ 4(x＋ 1)(x－ 1)＝ 2( 1x－ 1－ 1x＋ 1) ?? 1339。 ∴ 1ln2＋ 1ln3＋ 1ln4＋ … ＋ 1lnn 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) ＞ 2[(1－ 13)＋ (12－ 14)＋ (13－ 15)＋ (14－ 16)＋ …… ( 1n－ 1－ 1n＋ 1)] ＝ 2(1＋ 12－ 1n－ 1n＋ 1) ＝ 3n2－ n－ 2n(n＋ 1) . ∴ 原不等式成立 . ?? 1439。 (江蘇省鹽城市田家炳中學(xué) 09 屆高三數(shù)學(xué)綜合練習(xí) )已知 x=1 是 ( ) 2 lnbf x x xx? ? ?的一個(gè)極值點(diǎn) （ 1） 求 b 的值； （ 2） 求函數(shù) ??fx的單調(diào)增區(qū)間； （ 3） 設(shè) xxfxg 3)()( ?? ，試問過點(diǎn)（ 2， 5）可作多少條 直線與 曲線 y=g(x)相 切？ 請說明理由。 解： (1) 因 x=1 是 ( ) 2 lnbf x x xx? ? ?的一個(gè)極值點(diǎn) ,∴ 0)1(39。 ?f 又 xxbxf 12)(39。2 ??? 所以 2+b+1=0 ∴ b= 3 經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所 以 b= 3． (2) 0132)(39。2 ???? xxxf又 0?x ∴ x1 ∴ 函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ),1[ ?? （ 3） xxfxg 3)()( ?? =2x+lnx 設(shè)過點(diǎn)（ 2， 5）與曲線 g (x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為 00( , )xy ∴ /0 0 05 ( )( 2)y g x x? ? ? 即0 0 0012 l n 5 ( 2 ) ( 2 )x x xx? ? ? ? ? ∴0 02ln 2x x? ? ? 令 h(x)= 2ln 2x x?? ∴ /h(x) =212xx?=0∴ 2x? ∴ h(x)在（ 0， 2）上單調(diào)遞減，在（ 2， ?? ）上單調(diào)遞增 又 1( ) 2 ln 2 02h ? ? ?， h(2)=ln210， 222( ) 0he e?? ∴ h(x)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) ∴ 過點(diǎn)（ 2， 5）可作 2 條曲線 y=g(x)的切線 . 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) O x y 33 － 33 － 1 1 2 (江西省崇仁一中 2020屆高三第四次月考 )若函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d 是奇函數(shù)，且 f(x)極小值 ＝ f(－33 )＝－2 39 ． （ 1）求函數(shù) f(x)的解析式； （ 2） 求函數(shù) f(x)在 [－ 1， m](m＞－ 1)上的最大值； （ 3）設(shè)函數(shù) g(x)＝ f(x)x2 ，若不等式 g(x)g(2k－ x)≥ (1k－ k)2 在 (0， 2k)上恒成立，求實(shí)數(shù) k的取值范圍． 解：（ 1）函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d 是奇函數(shù)，則 b＝ d＝ 0， ∴ f /(x)＝ 3ax2＋ c，則???f /(－ 33 )＝ a＋ c＝ 0f(－ 33 )＝－ 3a9 － 3c3 ＝－ 2 39? ???a＝－ 1c＝ 1 故 f(x)＝－ x3＋ x；???????????? 4 分 （ 2）∵ f /(x)＝－ 3x2＋ 1＝－ 3(x＋ 33 )(x－ 33 ) ∴ f(x)在 (－∞，－ 33 )， ( 33 ，＋∞ )上是增函數(shù)，在 [－ 33 ， 33 ]上是減函數(shù)， 由 f(x)＝ 0 解得 x＝177。 1， x＝ 0， 如圖所示， 當(dāng)－ 1＜ m＜ 0 時(shí)， f(x)max＝ f(－ 1)＝ 0； 當(dāng) 0≤ m＜ 33 時(shí)， f(x)max＝ f(m)＝－ m3＋ m， 當(dāng) m≥ 33 時(shí)， f(x)max＝ f( 33 )＝ 2 39 ．故 f(x)max＝?????0 (－ 1＜ m＜ 0)－ m3＋ m (0≤ m＜ 33 )2 39 (m≥33 )．???? 9分 （ 3） g(x)＝ (1x－ x)，令 y＝ 2k－ x，則 x、 y∈ R＋ ，且 2k＝ x＋ y≥ 2 xy，又令 t＝ xy， 則 0＜ t≤ k2，故函數(shù) F(x)＝ g(x)g(2k－ x)＝ (1x－ x)(1y－ y)＝ 1xy＋ xy－ x2＋ y2xy ＝ 1xy＋ xy－ (x＋ y)2－ 2xyxy ＝1－ 4k2t ＋ t＋ 2， t∈ (0， k2] 當(dāng) 1－ 4k2≤ 0 時(shí)， F(x)無最小值，不合 當(dāng) 1－ 4k2＞ 0 時(shí)， F(x)在 (0， 1－ 4k2]上遞減，在 [ 1－ 4k2，＋∞ )上遞增，且 F(k2)＝ (1k－ k)2， ∴要 F(k2)≥ (1k－ k)2恒成立，必須?????k＞ 01－ 4k2＞ 0k2≤ 1－ 4k2??????0＜ k＜ 12k2≤ 5－ 2， 故實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 (0， 5－ 2)]．?????? 14 分 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 2 (揭陽市云路中學(xué) 2020屆高三數(shù)學(xué)第六次測試 )某單位用 2160 萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少 10層、每層 2020平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為 x（ x? 10）層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為 560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？ （注：平均綜合費(fèi)用 =平均建筑費(fèi)用 +平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用 =建筑總面積購地總費(fèi)用） 解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為 y 元，依題意得 *2 1 6 0 1 0 0 0 0 1 0 8 0 0( 5 6 0 4 8 ) 5 6 0 4 8 ( 1 0 , )2020y x x x x Nxx?? ? ? ? ? ? ? ? 則21080048y x???，令 0y?? ，即21080048 0x??，解得 15x? 當(dāng) 15x? 時(shí)， 0y?? ；當(dāng) 0 15x?? 時(shí)， 0y?? ， 因此，當(dāng) 15x? 時(shí)， y 取得最小值， min 2020y ? 元 . 答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為 15 層。 2 (揭陽市云路中學(xué) 2020 屆高三數(shù)學(xué)第六次測試 )設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋ a3x (a i∈ R， i＝ 0， 1， 2， 3 )，當(dāng) x＝－ 22 時(shí)， f (x)取得極大值 23 ，并且函數(shù) y＝ f? (x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱。 （ 1）求 f (x)的表達(dá)式； （ 2）試在函數(shù) f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間 [－ 1， 1]上； （ 3）求證： |f (sin x)－ f (cos x) | ≤ 2 23 (x∈ R)． 解： ∵ f? (x)＝ 4a0x3＋ 3a1x2＋ 2a2x+a3 為偶函數(shù)， ∴ f ?(?x) = f ?(x), ∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0 對一切 x ? R 恒成立， ∴ a0＝ a2＝ 0， ∴ f (x)＝ a1x3＋ a3x 又當(dāng) x＝－ 22 時(shí)， f (x)取得極大值 23 ∴???f(－ 22 )＝ 23 ，f ? (－ 22 )＝ 0， 解得?????a1＝ 23，a3＝－ 1，∴ f (x)＝ 23x3－ x， f? (x)＝ 2x2－ 1 4 分 ⑵ 解：設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x x2 (x1 x2)，則 (2x12－ 1)(2x22－ 1)＝－ 1 又 ∵ x1， x2∈ [－ 1， 1]， ∴ 2x12－ 1∈ [－ 1， 1]， 2x22－ 1∈ [－ 1， 1] ∴ 2x12－ 1， 2x22－ 1 中有一個(gè)為 1，一個(gè)為－ 1， ∴ ??? x1=0 x2=1 或 ??? x1 = ?1 x2=0 ， ∴ 所求的兩點(diǎn)為 (0， 0)與