【正文】 時(shí)恒成立 當(dāng) x＝ 1 時(shí) a∈ R 2 分 當(dāng) x＞ 1 時(shí)即 lnxa x? ， 令 ()lnxgx x? , 2ln 1() lnxgx x?? ? 4 分 x≥e 時(shí) g’(x)≥0 ,g(x)在 x＞ e 時(shí)為增函數(shù) ， g(x)在 x＜ e 時(shí)為減函數(shù) ∴ gmin(x)＝ e ∴ a≤e 7 分 (2)解： f(x)=x2－ x＋ alnx， f′(x)=2x－ 1＋ ax = 22x x ax?? ， x＞ 0 （ 1）當(dāng) △ =1－ 8a≤0， a≥18時(shí)， f′(x)≥0恒成立， f(x)在（ 0， +∞）上為增函數(shù)． 9 分 （ 2）當(dāng) a＜ 18時(shí) ① 當(dāng) 0＜ a＜ 18時(shí)， 1 1 8 1 1 8 022aa? ? ? ??? f(x)在 1 1 8 1 1 8[ , ]22aa? ? ? ?上為減函數(shù)， 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) f(x)在 1 1 8 1 1 8( 0 , ] , [ , )22aa? ? ? ? ??上為增函數(shù)． 11 分 ② 當(dāng) a=0 時(shí)， f(x)在（ 0， 1]上為減函數(shù)， f(x)在 [1，＋ ∞）上為增函數(shù)． 13 分 ③ 當(dāng) a＜ 0 時(shí)， 1 1 8 02 a??? ，故 f(x)在（ 0， 1 1 82 a?? ]上為減函數(shù)， f(x)在 [ 1 1 82 a?? ，＋ ∞）上為增函數(shù)． 15 分 1 (安徽省潛山縣三環(huán)中學(xué) 2020 屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考 )已知 a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2 3( ) ( )( )2f x x x a? ? ?． (Ⅰ ) 若函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線，求 a的取值范圍； (Ⅱ ) 若 ( 1) 0f??? ， 求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； 解： (Ⅰ ) ∵ 32 33()22f x x a x x a? ? ? ?， ∴ 2 3( ) 3 22f x x ax? ? ? ?． ∵ 函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線 ， ∴ ( ) 0fx? ? 有實(shí)數(shù)解． ∴ 2 34 4 3 02aD ? ? ? ? ?， ∴ 2 92a?．所求 a的取值范圍是 3 2 3 2( , ) ( , )22?? ? ? ?． (Ⅱ ) ∵ ( 1) 0f??? ，∴ 33 2 02a? ? ?即 94a?.∴ 2 31( ) 3 2 3 ( ) ( 1 )22f x x a x x x? ? ? ? ? ? ?． 由 ( ) 0fx? ? ，得 1x?? 或 12x??； 由 ( ) 0fx? ? ，得 112x? ? ??． 因此，函數(shù) ()fx 的單調(diào)增區(qū)間為 ( , 1]??? ， 1[ , )2? ??；單調(diào)減區(qū)間為 1[ 1, ]2??． 1 (北京五中 12 月考 )已知 .21)(),1l n()( 2 bxaxxgxxf ???? （ 1）若 )()1()(,2 xgxfxhb ???? 且 存在單 調(diào)遞減 區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ 2）若 1,0 ?? ba 時(shí)，求證 ),1(0)()( ?????? xxgxf 對(duì)于成立； （ 3）利用（ 2）的結(jié)論證明：若 .2ln)(lnln,0 yxyxyyxxyx ?????? 則 解：（ 1） xaxxxhb 221ln)(2 2 ???? 時(shí) ， 2)( ???? axxxh )(xh? 有單調(diào)減區(qū)間 ， 021,0)( 2 ?????? x xaxxh 即有解 有解 0?x? ， 0122 ???? xax 有解 ① 0?a 時(shí)合題意 ② 0?a 時(shí)， 044 ???? a ， 即 1??a ， a? 的 范圍 是 ),1( ??? 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) （ 2）設(shè) xxxgxfx ????? )1l n ()()()(? ，1111)( ??????? x xxx? 1??x? x )0,1(? 0 ),0( ?? )(x?? + 0 )(x? ↗ 最大值 ↘ ∴當(dāng) x＝ 0 時(shí) ,Φ(x)有最大值 0， 0)( ?? x? 恒成立 即 10)()( ???? xxgxf 對(duì)成立 （ 8 分 ） （ 3） yx??0? )2ln(l n)2ln(l n2ln)(lnln yxyyyxxxyxyxyyxx ?????????? y yxyx yxxyx yyyx xx 2ln2ln2ln2ln ????????? )21l n()21l n( y yxyx xyx ??????? 022 ???????? yxyx xyx ?求證成立 （ 12 分 ） 13 、 ( 北 京 市 東 城 區(qū) 2020 屆 高 三 部 分 學(xué) 校 月 考 ) 設(shè) 函 數(shù))(,1),1l n ()1()( xfaxaaxxf 求其中 ?????? 的單調(diào)區(qū)間 . 解：由已知得函數(shù) ).1(11)(),1()( ????????? axaxxfxf 且的定義域?yàn)? （ 1）當(dāng) ),1()(,0)(,01 ???????? 在函數(shù)時(shí) xfxfa 上單調(diào)遞減。1,0)(,10,0,1ln)( 39。當(dāng) 1?x 時(shí) , ? ? 039。 0fx? 所以 ??fx的單調(diào)增區(qū)間是 ? ? ? ?1,1 , 3,? ?? ??fx的單調(diào)減區(qū)間是 ? ?1,3 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ??fx在 ? ?1,1? 內(nèi)單調(diào)增加，在 ? ?1,3 內(nèi)單調(diào)減少， 在 ? ?3,?? 上單調(diào)增加，且當(dāng) 1x? 或 3x? 時(shí)， ? ?39。(x)＝ 2x－ 3＋ 1x＝ 2x2－ 3x＋ 1x ＝(2x－ 1)(x－ 1)x ?? 439。 ∴ 當(dāng) x≥2 時(shí)， 1lnx＞ 4x2－ 1＝ 4(x＋ 1)(x－ 1)＝ 2( 1x－ 1－ 1x＋ 1) ?? 1339。 1， x＝ 0， 如圖所示， 當(dāng)－ 1＜ m＜ 0 時(shí)， f(x)max＝ f(－ 1)＝ 0； 當(dāng) 0≤ m＜ 33 時(shí)， f(x)max＝ f(m)＝－ m3＋ m， 當(dāng) m≥ 33 時(shí)， f(x)max＝ f( 33 )＝ 2 39 ．故 f(x)max＝?????0 (－ 1＜ m＜ 0)－ m3＋ m (0≤ m＜ 33 )2 39 (m≥33 )．???? 9分 （ 3） g(x)＝ (1x－ x)，令 y＝ 2k－ x，則 x、 y∈ R＋ ，且 2k＝ x＋ y≥ 2 xy，又令 t＝ xy， 則 0＜ t≤ k2，故函數(shù) F(x)＝ g(x) ∴ f (x)在 [0， 22 ]為減函數(shù)，在 [ 22 ， 1]上為增函數(shù)， 又 f (0)＝ 0， f ( 22 )＝－ 23 ， f (1)＝－ 13，而 f (x)在 [－ 1， 1]上為奇函數(shù)， ∴ f (x)在 [－ 1， 1]上最大值為 23 ，最小值為－ 23 ，即 | f (x) | ≤ 2 3 , ∴ | f (sin x) | ≤ 2 3 ， | f (cos x)| ≤ 2 3 ， ∴ | f (sin x)－ f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋ | f (cos x) | ≤ 2 23 24 、 ( 遼 寧 省 大 連 市 第 二 十 四 中 學(xué) 2020 屆 高 三 高 考 模 擬 ) 已知),1(,1)1l n ()()(,)()( 2 ????????? ? xxexfxgeaaxxxf xx （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，試求函數(shù) )(xg 的單調(diào)區(qū)間，并證明此時(shí)方程 )(xg =0 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，并求出此實(shí)數(shù)根； （ 2）證明： ).,2(,2 1ln1131211 *Nnnnn ????????? ? 解：（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)， ),1(),1l n ()( 2 ?????? xxxxxg 則 0,10)(,1 )32(1112)( ?????? ??????? xxxgx xxxxxg 得及令，所以單調(diào)增區(qū)間為（ 0， +∞），令 0110)( ??????? xxxg 得及 ，所以單調(diào)減區(qū)間為（－ 1， 0） .2分 又 .00)(,),0[)(,0)0( ?????? xxgxgg 只有一個(gè)實(shí)根上單調(diào)遞增在且? …4 分 （ 2） ].)2([)()2()( 22 xaxeeaaxxeaxxf xxx ?????????? ??? 令 axxxf ????? 20,0)( 或解得 （ i）當(dāng) 2－ a=0 即 a=2 時(shí)， 0)( ?? xf 無極值，舍去 . （ ii）當(dāng) 2－ a0 即 a2 時(shí)， )(),( xfxf? 的變化情況如下表（一）： x （－ ∞， 0） 0 （ 0， 2－ a） 2－ a （ 2－ a， +∞） )(xf? － 0 + 0 － )(xf 極小值 極大 值 由題意應(yīng)有 20,0)0( ??? af 得 滿足題意 ………………………………8 分 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) (3)略 2 (山東省平邑第一中學(xué) 2020 屆高三元旦競賽試題 )設(shè)函數(shù) 11 0,f x xx? ? ?（ ） ， (Ⅰ ) 證明 : 當(dāng) 0 a b ,且 ( ) ( )f a f b? 時(shí) ,ab 1。 解： （ 1） .23)( 2 baxxxf ???? …………1 分 由題意，得 222 2 2( ) 3 ( ) 2 0 , 2,3 3 3 4.( 1 ) 3 1 2 1 3.f a b abf a b? ? ? ? ? ? ? ? ????? ???? ?? ? ? ? ? ??解 得 …………4 分 設(shè)切線 l 的方程為 3y x m?? 由原點(diǎn)到切線 l 的距離為 1010 ，則2| | 101031m ?? ，解得 1m?? ∵ 切線 l 不過第四象限 ，∴ 1m? ，∴ 切線 l 的方程為 31yx?? 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 4），∴ (1) 4f ? ，∴ 14abc? ? ? ? ∴ 5c? ………… 6 分 （ 2）由（ 1）知 ).23)(2(443)( 3 ??????? xxxxxf ， .32,2,0)( 21 ????? xxxf 得令 …………6 分 列表如下： 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) x － 4 （ 4， 2） － 2 )32,2(? 32 )1,32( 1 )(xf? + 0 － 0 + )(xf 極大值 極小值 函數(shù)值 － 11 13 2795 4 )(xf? 在 [－ 4， 1]上的最大值為 13，最小值為－ 11。 ?xf ， （ 2 分） 由 0?? 得 112b0 即 112b? （ 4 分） （ 2） ? ? ? ?39。 2 (揭陽市云路中學(xué) 2020 屆高三數(shù)學(xué)第六次測試 )設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋ a3x (a i∈ R， i＝ 0， 1， 2， 3 )，當(dāng) x＝－ 22 時(shí)， f (x)取得極大值 23 ，并且函數(shù) y＝ f? (x)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 ?f 又 xxbxf 12)(39。 當(dāng) x＝ 1 時(shí)， g(x)最小值 ＝ g(1)＝ b－ 2， g(12)＝ b－ 54－ ln2， g(2)＝ b－ 2＋ ln2 ∵ 方程 f(x)＋ 2x＝ x2＋ b 在 [12， 2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 由???g(12)≥0g(1)＜ 0g(2)≥0 ? ???b－ 54－ ln2≥0b－ 2＜ 0b－ 2＋ ln2≥0 ? 54＋ ln2≤b≤2 ?? 939。 假設(shè)當(dāng) 2( 2) 2kn k k a k k? ? ? ?時(shí) ， 211 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )k k k kkk a k a a k k k k?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???則 由 由)12)(1( ??? kk )1()1(2132 22 ??????? kkkk 即 也成立時(shí)，等式 nnakn n ???? 221 因此對(duì)任何 2* , 2nn N a n n? ? ? 成 立 所以 22nnab nn ??? （