【正文】 020 屆高三數(shù)學(xué)第六次測(cè)試 )設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋ a3x (a i∈ R， i＝ 0， 1， 2， 3 )，當(dāng) x＝－ 22 時(shí)， f (x)取得極大值 23 ，并且函數(shù) y＝ f? (x)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 解： （ 1） .23)( 2 baxxxf ???? …………1 分 由題意，得 222 2 2( ) 3 ( ) 2 0 , 2,3 3 3 4.( 1 ) 3 1 2 1 3.f a b abf a b? ? ? ? ? ? ? ? ????? ???? ?? ? ? ? ? ??解 得 …………4 分 設(shè)切線 l 的方程為 3y x m?? 由原點(diǎn)到切線 l 的距離為 1010 ，則2| | 101031m ?? ，解得 1m?? ∵ 切線 l 不過第四象限 ，∴ 1m? ，∴ 切線 l 的方程為 31yx?? 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 4），∴ (1) 4f ? ，∴ 14abc? ? ? ? ∴ 5c? ………… 6 分 （ 2）由（ 1）知 ).23)(2(443)( 3 ??????? xxxxxf ， .32,2,0)( 21 ????? xxxf 得令 …………6 分 列表如下： 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) x － 4 （ 4， 2） － 2 )32,2(? 32 )1,32( 1 )(xf? + 0 － 0 + )(xf 極大值 極小值 函數(shù)值 － 11 13 2795 4 )(xf? 在 [－ 4， 1]上的最大值為 13，最小值為－ 11。 1， x＝ 0， 如圖所示， 當(dāng)－ 1＜ m＜ 0 時(shí)， f(x)max＝ f(－ 1)＝ 0； 當(dāng) 0≤ m＜ 33 時(shí)， f(x)max＝ f(m)＝－ m3＋ m， 當(dāng) m≥ 33 時(shí)， f(x)max＝ f( 33 )＝ 2 39 ．故 f(x)max＝?????0 (－ 1＜ m＜ 0)－ m3＋ m (0≤ m＜ 33 )2 39 (m≥33 )．???? 9分 （ 3） g(x)＝ (1x－ x)，令 y＝ 2k－ x，則 x、 y∈ R＋ ，且 2k＝ x＋ y≥ 2 xy，又令 t＝ xy， 則 0＜ t≤ k2，故函數(shù) F(x)＝ g(x)(x)＝ 2x－ 3＋ 1x＝ 2x2－ 3x＋ 1x ＝(2x－ 1)(x－ 1)x ?? 439。當(dāng) 1?x 時(shí) , ? ? 039。 解： (1)221 1 1( ) [ 1 ln( 1 ) ] [ ln( 1 ) ]11xf x x xxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ??????? (2 分 ) 2 10 , 0 , 0 , ln ( 1 ) 0 , ( ) 01x x x f xx ?? ? ? ? ? ? ? ?? ( ) (0, )fx??在 上是減函數(shù) .???????????????????? (4 分 ) (2) ( 1 ) [ 1 ln( 1 ) ]( ) , ( )1k x xf x h x kxx ? ? ?? ? ?? 恒 成 立 即 恒 成 立 即 h(x)的最小值大于 k.?????????????????????? (6 分 ) 1 ln( 1 )( ) , ( ) 1 ln( 1 ) ( 0 )xxh x g x x x xx? ? ?? ? ? ? ? ? ? 則 ( ) 0 , ( ) ( 0 , )1xg x g xx? ? ? ? ? ?? 在上單調(diào)遞增， 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 又 ( 2 ) 1 l n 3 0, ( 3 ) 2 2 l n 2 0gg? ? ? ? ? ? ( ) 0gx??存在唯一實(shí)根 a，且滿足 ( 2 , 3 ), 1 ln ( 1 )a a a? ? ? ? 當(dāng) ( ) 0, ( ) 0 0 ( ) 0, ( ) 0x a g x h x x a g x h x??? ? ? ? ? ? ?， ， ， ∴mi n()( 1 ) [ 1 ln( 1 ) ]( ) 1 ( 3 , 4 )x aah h a aa? ? ?? ? ? ? ? 故正整數(shù) k 的最大值是 3 ?????? ?? 9 分 (3)由 (Ⅱ )知 1 ln ( 1 ) 3 ( 0 )1x xxx?? ??? ∴ 3 3 3ln( 1 ) 1 2 211xx x x x? ? ? ? ? ? ??? ?????? 11 分 令 ( 1)( *)x n n n N? ? ? ，則 3ln[ 1 ( 1 ) ] 2 ( 1 )nn nn? ? ? ? ? ∴ ln(1＋ 1 2)＋ ln(1＋ 2 3)＋ ? ＋ ln[1＋ n(n＋ 1)] 3 3 3( 2 ) ( 2 ) [ 2 ]1 2 1 3 ( 1 )1 3 12 3 [ ]1 2 2 3 ( 1 )132 3 ( 1 ) 2 3 2 311nnnnnn n nnn? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ (1＋ 1 2)(1＋ 2 3)? [1＋ n(n＋ 1)]＞ e2n－ 3 ?????? 14 分 (江蘇運(yùn)河中學(xué) 2020 年高三 第一次質(zhì)量檢測(cè) )已知 函數(shù) f(x)=x2－ x＋ alnx (1)當(dāng) x≥1 時(shí)， f(x)≤x2 恒成立，求 a 的取值范圍； (2)討論 f(x)在定義域上的單調(diào)性； 解：由 f(x)≤x2 恒成立 ,得 :alnx≤x在 x≥1 時(shí)恒成立 當(dāng) x＝ 1 時(shí) a∈ R 2 分 當(dāng) x＞ 1 時(shí)即 lnxa x? ， 令 ()lnxgx x? , 2ln 1() lnxgx x?? ? 4 分 x≥e 時(shí) g’(x)≥0 ,g(x)在 x＞ e 時(shí)為增函數(shù) ， g(x)在 x＜ e 時(shí)為減函數(shù) ∴ gmin(x)＝ e ∴ a≤e 7 分 (2)解： f(x)=x2－ x＋ alnx， f′(x)=2x－ 1＋ ax = 22x x ax?? ， x＞ 0 （ 1）當(dāng) △ =1－ 8a≤0， a≥18時(shí)， f′(x)≥0恒成立， f(x)在（ 0， +∞）上為增函數(shù)． 9 分 （ 2）當(dāng) a＜ 18時(shí) ① 當(dāng) 0＜ a＜ 18時(shí)， 1 1 8 1 1 8 022aa? ? ? ??? f(x)在 1 1 8 1 1 8[ , ]22aa? ? ? ?上為減函數(shù)， 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) f(x)在 1 1 8 1 1 8( 0 , ] , [ , )22aa? ? ? ? ??上為增函數(shù)． 11 分 ② 當(dāng) a=0 時(shí)， f(x)在（ 0， 1]上為減函數(shù)， f(x)在 [1，＋ ∞）上為增函數(shù)． 13 分 ③ 當(dāng) a＜ 0 時(shí)， 1 1 8 02 a??? ，故 f(x)在（ 0， 1 1 82 a?? ]上為減函數(shù)， f(x)在 [ 1 1 82 a?? ，＋ ∞）上為增函數(shù)． 15 分 1 (安徽省潛山縣三環(huán)中學(xué) 2020 屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考 )已知 a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2 3( ) ( )( )2f x x x a? ? ?． (Ⅰ ) 若函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線，求 a的取值范圍； (Ⅱ ) 若 ( 1) 0f??? ， 求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； 解： (Ⅰ ) ∵ 32 33()22f x x a x x a? ? ? ?， ∴ 2 3( ) 3 22f x x ax? ? ? ?． ∵ 函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線 ， ∴ ( ) 0fx? ? 有實(shí)數(shù)解． ∴ 2 34 4 3 02aD ? ? ? ? ?， ∴ 2 92a?．所求 a的取值范圍是 3 2 3 2( , ) ( , )22?? ? ? ?． (Ⅱ ) ∵ ( 1) 0f??? ，∴ 33 2 02a? ? ?即 94a?.∴ 2 31( ) 3 2 3 ( ) ( 1 )22f x x a x x x? ? ? ? ? ? ?． 由 ( ) 0fx? ? ，得 1x?? 或 12x??； 由 ( ) 0fx? ? ，得 112x? ? ??． 因此，函數(shù) ()fx 的單調(diào)增區(qū)間為 ( , 1]??? ， 1[ , )2? ??；單調(diào)減區(qū)間為 1[ 1, ]2??． 1 (北京五中 12 月考 )已知 .21)(),1l n()( 2 bxaxxgxxf ???? （ 1）若 )()1()(,2 xgxfxhb ???? 且 存在單 調(diào)遞減 區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ 2）若 1,0 ?? ba 時(shí)，求證 ),1(0)()( ?????? xxgxf 對(duì)于成立； （ 3）利用（ 2）的結(jié)論證明：若 .2ln)(lnln,0 yxyxyyxxyx ?????? 則 解：（ 1） xaxxxhb 221ln)(2 2 ???? 時(shí) ， 2)( ???? axxxh )(xh? 有單調(diào)減區(qū)間 ， 021,0)( 2 ?????? x xaxxh 即有解 有解 0?x? ， 0122 ???? xax 有解 ① 0?a 時(shí)合題意 ② 0?a 時(shí)， 044 ???? a ， 即 1??a ， a? 的 范圍 是 ),1( ??? 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) 永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng) （ 2）設(shè) xxxgxfx ????? )1l n ()()()(? ，1111)( ??????? x xxx? 1??x? x )0,1(? 0 ),0( ?? )(x?? + 0 )(x? ↗ 最大值 ↘ ∴當(dāng) x＝ 0 時(shí) ,Φ(x)有最大值 0， 0)( ?? x? 恒成立 即 10)()( ???? xxgxf 對(duì)成立 （ 8 分 ） （ 3） yx??0? )2ln(l n)2ln(l n2ln)(lnln yxyyyxxxyxyxyyxx ?????????? y yxyx yxxyx yyyx xx 2ln2ln2ln2ln ????????? )21l n()21l n( y yxyx xyx ??????? 022 ???????? yxyx xyx ?求證成立 （ 12 分 ） 13 、 ( 北 京 市 東 城 區(qū) 2020 屆 高 三 部 分 學(xué) 校 月 考 ) 設(shè) 函 數(shù))(,1),1l n ()1()( xfaxaaxxf 求其中 ?????? 的單調(diào)區(qū)間 . 解：由已知得函數(shù) ).1(11)(),1()( ????????? axaxxfxf 且的定義域?yàn)? （ 1）當(dāng) ),1()(,0)(,01 ???????? 在函數(shù)時(shí) xfxfa 上單調(diào)遞減。 021)1( ??f? ， 0121)( 21 ??? aa eef ，所以方程有惟一解。 2 分 故當(dāng) (01)x? ， 時(shí)， ( ) 0fx? ? ， (1 )x??， ∞ 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 所以 ()fx在 (01)， 單調(diào)遞增，在 (1 )?， ∞ 單調(diào)遞減． （ 1）求證： ( ) 1( )f x x x R? ? ?； （ 2）討論關(guān)于 x 的方程： 2l n ( ) ( ) ( 2 )g x g x x e x m? ? ? ?()mR? 的根的個(gè)數(shù)； （提示： lnlim 0xxx??? ?） （ 3）設(shè) *nN? ，證明： 1 2 31n n n nnen n n n e? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。39。 0fx? 所以 ??fx的極大值為 ? ?1 16 ln 2 9f ??， 極小值為 ? ?3 32 ln 2 21f ?? 因此 ? ? ? ?216 16 10 16 16 l n 2 9 1ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 2 1 1 2 1 3f e f? ? ? ? ? ? ? ? 所以在 ??fx的三個(gè)單調(diào)區(qū)間 ? ? ? ? ? ?1,1 , 1, 3 , 3,? ??直線 yb? 與 ? ?y f x? 的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? ? ?3