【正文】 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 高考文科數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法（文科） 一、考點回顧 1．平面 （ 1）平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。 （ 2）證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi) ，推出點在面內(nèi)）， 這樣，可根據(jù)公理 2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。 （ 3）證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。 （ 4）證共面問題一般用落入法或重合法。 （ 5）經(jīng)過不在同一條直線上 的三點確定一個面 . 2. 空間直線 . （ 1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面 . 相交直線 —共面有反且有一個公共點；平行直線 —共面沒有公共點；異面直線 —不同在任一平面內(nèi)。 （ 2）異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線 .（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線） （ 3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . （ 4）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所 成銳角（或直角）相等 . （ 5）兩異面直線的距離：公垂線的長度 . 空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直 . 21,ll 是異面直線，則過 21,ll 外一點 P，過點 P且與 21,ll 都平行平面有一個或沒有，但與21,ll 距離相等的點在同一平面內(nèi) . （ l1或 l2在這個做出的平面內(nèi)不能叫 l1與 l2平行的平面） 3. 直線與平面平行、直線與平面垂直 . （ 1）空間 直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi) . （ 2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 么這條直線和這個平面平行 .（ “線線平行，線面平行 ”） （ 3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行 .（ “線面平行，線線平行 ”） （ 4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直 . POAa 4 若 PA ⊥ ? ， a ⊥ AO ，得 a ⊥ PO （三垂線定理）， 得不出 ? ⊥ PO . 因為 a ⊥ PO ，但 PO 不垂直 OA. 5 三垂線定理的逆定理亦成立 . 直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面 .（ “線線垂直，線面垂直 ”） 直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面 . 推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 . （ 5） ：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較 長；③垂線段比任何一條斜線段短 . [注 ]：垂線在平面的射影為一個點 . [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線 .（） ] ：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。 4. 平面平行與平面垂直 . （ 1）空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行 . （ 2）平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行 .（ “線面平行，面面平行 ”） 推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行 . [注 ]：一平面間的任一 直線平行于另一平面 . （ 3）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 交線平行 .（ “面面平行，線線平行 ”） （ 4）兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直 . 兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面 .（ “線面垂直，面面垂直 ”） 注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系 . P? ?θM ABO （ 5）兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面 . 推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面 . 證明：如圖，找 O作 OA、 OB分別垂直于 21,ll ， 因為 ???? ???? OBPMOAPM , 則 OBPMOAPM ?? , . 圖1θθ 1θ 2圖2 （ 6）兩異面直線任意兩點間的距離公式： ?c o s2222 mndnml ???? （ ? 為銳角取加，? 為鈍角取減，綜上，都取加則必有 ??????? 2,0?? ） （ 7）最小角定理： 21 coscoscos ??? ? （ 1? 為最小角，如圖） 5. 錐、棱柱 . （ 1）棱柱性質(zhì) ①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形 . ②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形 . 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 ③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形 . 注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱 . （） （直棱柱不能保證 底面是鉅形可如圖） ②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直 . （ 2）棱錐性質(zhì)： ①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高） . ②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形 . O r （ 3）球： . ①球的表面積公式： 24RS ?? .②球的體積公式： 334 RV ?? . 、經(jīng)度： ①緯度：地球上一 點 P 的緯度是指經(jīng)過 P 點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù) . ②經(jīng)度：地球上 BA, 兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點 A 的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是B 點的經(jīng)度 . OR 附：①圓柱體積： hrV 2?? （ r 為半徑， h 為高） ②圓錐體積： hrV 231?? （ r 為半徑， h 為高） ③錐形體積： ShV 31? （ S 為底面積， h 為高） 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 （ 1）①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時 ，設(shè)邊長為 a， ah 36? ， 243aS ?底 ， 243aS ?側(cè) ， 得 RaRaaa ?????? 222 4331433643 aaaR 46342334/42 ????? . 注：球內(nèi)切于四面體： hSRS313RS31V 底底側(cè)A C DB ????????? 。 ②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式 . 6. 空間向量 . （ 1） ：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合 . （ 2）空間向量基本 定理：如果三個向量 cba, 不共面，那么對空間任一向量 P ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z，使 czbyaxp ??? . OABCD 推論：設(shè) O、 A、 B、 C是不共面的四點，則對空間任一點 P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、y、 z使 OCzOByOAxOP ??? (這里隱含 x+y+z≠ 1). 注：設(shè)四面體 ABCD的三條棱， , dADcACbAB ??? 其 中 Q是△ BCD的重心， 則向量 )(31 cbaAQ ??? 用 MQAMAQ ?? 即證 . 對空間任一點 O和不共線的三點 A、 B、 C，滿足 OP xOA yOB zOC? ? ? ， 則四點 P、 A、 B、 C是共面 ? 1x y z? ? ? （ 3） ：空間直角坐標(biāo)系的 x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)）， y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸）， z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)） . ① 令 a =(a1,a2,a3), ),( 321 bbbb? ， 則 ),( 332211 babababa ????? ， ))(,( 321 Raaaa ?? ????? ， 332211 babababa ???? ， 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 a ∥ )(, 332211 Rbababab ????? ???? 332211 bababa ??? 。 0332211 ????? babababa 。 222 321 aaaaaa ????? (用到常用的向量模與 向量之間的轉(zhuǎn)化 ： aaaaaa ?????2 ) 空間兩個向量的夾角公式 232221232221 332211||||,c o s bbbaaa babababa baba ????? ???????? ?????? （ a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )bb b ）。 ②空間兩點的距離公式： 212212212 )()()( zzyyxxd ?????? . ：若向量 a 所在直線垂直于平面 ? ，則稱這個向量垂直于平面 ? ，記作 ??a ，如果 ??a 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量 . ： ①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè) n是平面 ? 的法向量， AB是平面 ? 的一條射線，其中 ??A ，則 點 B到平面 ? 的距離為 || || nnAB? . ② .異面直線間的距離 ||||CD nd n?? ( 12,ll 是兩異面直線，其公垂向量為 n ， CD、 分別是 12,ll 上任一點， d 為 12,ll 間的距離 ). ③ .點 B 到平面 ? 的距離 ||||AB nd n?? （ n 為平面 ? 的法向量， AB 是經(jīng)過面 ? 的一條斜線， A?? ） . ④直線 AB 與平面所成角 sin | || |AB marc AB m? ?? (m 為平面 ? 的法向量 ). ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè) 21,nn 分別是二面角 ?? ??l 中平面 ??, 的法向量，則 21,nn 所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。?21,nn 方向相同，則為補 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 角， 21,nn 反方，則為其夾角） . 二面角 l???? 的平面角 cos | || |mnarc mn? ?? 或 cos | || |mnarc mn? ?? （ m ， n 為平面 ? ，? 的法向量） . ７．知識網(wǎng)絡(luò) 二、經(jīng)典例題剖析 考點一 空間向量及其運算 一切為了學(xué)生的發(fā)展 一切為了家長的心愿 例題 1. 已知 ,ABC 三點不共線，對平面外任一點，滿足條件 1 2 25 5 5O P O A O B O C? ? ? ， 試判斷：點 P 與 ,ABC 是否一定共面？ 分析：要判斷點 P 與 ,ABC 是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對 ,xy ，使AP xAB y AC?? 或?qū)臻g任一點 O ，有 O P O A x AB y AC? ? ? 。 解：由題意： 5 2 2OP OA OB OC? ? ? ， ∴ ( ) 2 ( ) 2 ( )O P O A O B O P O C O P? ? ? ? ?， ∴ 22AP PB PC?? ，即 22PA PB PC? ? ? ， 所以，點 P 與 ,ABC 共面． 點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進行轉(zhuǎn)化運算． 例題 2. 如圖，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，點 M ， N 分別在對角線 BD ， AE 上，且 13BM BD? ， 13AN AE? ．求證： //MN 平面 CDE ． 分析：要證明 //MN 平面 CDE ，只要證明向量 NM 可以用平面 CDE 內(nèi)的兩個不共線