【正文】 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出多小波變換的矩陣形式及其軟件實(shí)現(xiàn) 我們知道，進(jìn)行 1次多小波變換的分解與重構(gòu)公式為： 與單小波不同之處在于，公式中的 s(n, k)是 r維列向量， H(k), G(k)是 rXr大小的矩陣。 因此，在使用這個(gè)公式前，必須進(jìn)行預(yù)處理，使進(jìn)行小波變換的一維數(shù)據(jù)變成 rXN維的數(shù)據(jù)，這稱為預(yù)濾波。 預(yù)濾波后，進(jìn)行小波分解，然后進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后再將 rXN維數(shù)據(jù)變成 1維數(shù)據(jù)，這稱為后濾波。 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出預(yù)濾波與后濾波的矩陣表示 從前面的解釋中可以看出，假設(shè)多小波的重?cái)?shù)是 r維的，多小波分解算法要求有初始系數(shù)（即 r維向量）才能進(jìn)行計(jì)算，而通常的輸入數(shù)據(jù)是一維的信號(hào)，或者是函數(shù) f(t)的等間距采樣值，為了應(yīng)用上面的公式，這就需要將一維數(shù)據(jù)或者 f(t)的等間距采樣值轉(zhuǎn)化為 r維向量，這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程一般稱為預(yù)處理或者預(yù)濾波。對(duì)一維數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)濾波后，進(jìn)行小波變換即小波分解，然后進(jìn)行逆變換即小波重構(gòu)，還得將重構(gòu)后的 r維向量轉(zhuǎn)化為一維數(shù)據(jù)，這個(gè)過程就稱為后濾波或者后處理。一般來說，小波重構(gòu)是精確重構(gòu)，則需要后濾波是預(yù)濾波的逆過程。一維多小波變換過程如下： 一維信號(hào) → 預(yù)濾波 → 分解 → 重構(gòu) → 后濾波 → 一維信號(hào) 研究多小波變換的矩陣表示，首先應(yīng)該知道預(yù)濾波與后濾波的矩陣表示形式。 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出然后做變換，最后結(jié)果中，取每個(gè)向量的第 1個(gè)元素就是不重復(fù)預(yù)濾波方法的后濾波。這種方法我們不討論，如果你想討論的話，我們本次講座的內(nèi)容也完全能夠處理這種方法。 恒等預(yù)濾波方法 就是按信號(hào)的前后順序，直接將信號(hào)變成向量，不做其它處理，直接進(jìn)行多小波變換的方法。例如對(duì) s=[a,b,c,d]’，有 預(yù)濾波方法常見有： 重復(fù)預(yù)濾波方法 比如對(duì)重?cái)?shù) r=2的 GHM小波，如果 s=[a,b,c,d]’。 則將 s變成向量 ????????????????????????????????2/ ,2/ ,2/ ,2/ ddccbbaa????????????????dcba ,恒等預(yù)濾波方法適用于平衡多小波。 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出插值預(yù)濾波方法 這種方法見此軟件目錄下的原創(chuàng)文獻(xiàn)： Design of prefilters for discrete multiwavelet ，具體想法是針對(duì)特定的多小波，將給定的要做小波變換的一維信號(hào) f(t)看成是等間隔采樣的 f[t_kj], 然后通過插值方法得到向量 c_0k, MWMP軟件包中文件 ，有關(guān)于 GHM的 2個(gè)預(yù)濾波方法，例如對(duì)于 GHM小波，其雙正交插值預(yù)濾波方法為： ????????????????????????????????????????02803281 ,00103281)211()1()21()(10100PPkfkfPkfkfPck此軟件目錄下的子目錄“ 預(yù)濾波 ”和“ 新加坡國立大學(xué)Qingtang Jiang的多小波文章 (00年前后 )”，都是一些關(guān)于預(yù)濾波的論文，請(qǐng)參考。 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出 HardinRoach預(yù)濾波方法 插值預(yù)濾波方法不能同時(shí)保持逼近階和正交性，而這種方法能同時(shí)保持逼近階和正交性，具體參考此目錄下 2 篇原創(chuàng)文獻(xiàn)“ Multiwavelet Prefilters I .pdf”、“ Multiwavelet Prefilters ” 。 預(yù)濾波的一般表示形式： 由于在實(shí)際應(yīng)用中，我們使用的多小波都是 2重的，即 r=2，此時(shí)，預(yù)濾波器可以寫成如下的通用形式： ??????????????Lmmk kmfkmfPc0 210 )()(其中 P_0, P_1, …, P_L 就是長(zhǎng)度為 L+1的預(yù)濾波器。 下面我們給出一些小波的預(yù)濾波與后處理的具體濾波器，并且與 MWMP軟件包中文件 ，通過這種比較，你就知道，如果你在其它文獻(xiàn)或者教材上看到一個(gè)新的預(yù)濾波器，如何加入文件 中了。 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出??????????????????????????????????????????10352400Q103010 ,01028 3 ,0028102831010 ，QPP下面是一些常用的雙正交插值預(yù)濾波、后濾波的濾波器， 其中 P_k是預(yù)濾波器， Q_k是后濾波器： ?? ??????????????????????? mmmLmmk cQkfkfkmfkmfPc 0210 210 )()( )()(，預(yù)濾波與后濾波的一般關(guān)系 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出STT多小波，也稱 SA4多小波，其中 P_0是預(yù)濾波器， Q_0是后濾波器 ： kkcQkfkfkfkfPcQP0021210000)()( ,)()(111121 ,111121???????????????????????????? ????????????預(yù)濾波與后濾波的關(guān)系 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出關(guān)于預(yù)濾波方法的程序驗(yàn)證： 對(duì) GHM小波，其雙正交插值預(yù)濾波方法如下 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????10352400Q103010 )21()(02803281 ,00103281)211()1()21()(10)1(010010100，QcQcQkfkfPPkfkfPkfkfPckkk請(qǐng)注意：后濾波的公式雖然寫成這樣形式，但它是預(yù)濾波的逆過程，因此，請(qǐng)注意觀察下面程序中關(guān)于后濾波的實(shí)際計(jì)算方法，或者看看論文Design of prefilters for discrete multiwavelet transforms 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出%本程序演示對(duì) GHM多小波，使用 ghmap方法進(jìn)行預(yù)濾波與后濾波的矩陣計(jì)算方法 x=[8,12,0,5,20,3,9,16,22,6,55,21]。xx=[8,12。0,5。20,3。9,16。22,6。55,21]39。 disp(39。原始數(shù)據(jù) x=39。)。disp(x)。 disp(39。向量化后的數(shù)據(jù) xx=39。)。disp(xx)。 fp=prep1D_appe(x,39。ghmap39。)。disp(39。使用 prep1D_appe函數(shù)對(duì) x進(jìn)行預(yù)濾波后的數(shù)據(jù) fp=39。)。 disp(fp)。[PR,PO]=coef_prep(39。ghmap39。)。a=PR(:,1:2)。b=PR(:,3:4)。x1=[]。 for i=1:length(xx)1 x1=[x1,a*xx(:,i)+b*xx(:,i+1)]。 end x1=[x1,a*xx(:,length(xx))+b*xx(:,1)]。 disp(39。直接使用矩陣乘積計(jì)算，得到的 xx的預(yù)濾波的結(jié)果 x1=39。)。disp(x1)。 aa=PO(:,1:2)。bb=PO(:,3:4)。 x2=[]。 x2=[x2,aa*x1(:,length(x1))+bb*x1(:,1)]。 for i=1:length(x1)1 x2=[x2,aa*x1(:,i)+bb*x1(:,i+1)]。 end disp(39。對(duì)前面預(yù)濾波的數(shù)據(jù) x1,使用矩陣乘積方法進(jìn)行后濾波，得到 x2=39。)。disp(x2)。 fp1=postp1D_appe(fp,39。ghmap39。)。 disp(39。使用 prep1D_appe函數(shù)對(duì) x進(jìn)行后濾波，得到數(shù)據(jù) fp1=39。)。disp(round(fp1))。 本程序名： , 使用 ghmap預(yù)濾波器計(jì)算 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出 mdwt_test1 原始數(shù)據(jù) x= 8 12 0 5 20 3 9 16 22 6 55 21 向量化后的數(shù)據(jù) xx= 8 0 20 9 22 55 12 5 3 16 6 21 使用 prep1D_appe函數(shù)對(duì) x進(jìn)行預(yù)濾波后的數(shù)據(jù) fp= 0 直接使用矩陣乘積計(jì)算，得到的 xx的預(yù)濾波的結(jié)果 x1= 0 對(duì)前面預(yù)濾波的數(shù)據(jù) x1,使用矩陣乘積方法進(jìn)行后濾波，得到 x2= 0 使用 prep1D_appe函數(shù)對(duì) x進(jìn)行后濾波，得到數(shù)據(jù) fp1= 8 12 0 5 20 3 9 16 22 6 55 21 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實(shí) 現(xiàn) 上頁 下頁 退出%本程序演示對(duì) GHM多小波，使用 ghmorap方法進(jìn)行預(yù)濾波與后濾波的矩陣計(jì)算方法 x=[8,12,0,5,20,3,9,16,22,6,55,21]。xx=[8,12。0,5。20,3。9,16。22,6。55,21]39。 disp(39。原始數(shù)據(jù) x=39。)。disp(x)。 disp(39。向量化后的數(shù)據(jù) xx=39。)。disp(xx)。 fp=prep1D_appe(x,39。ghmorap39。)。disp(39。使用 prep1D_appe函數(shù)對(duì) x進(jìn)行預(yù)濾波后的數(shù)據(jù) fp=39。)。 disp(fp)。[PR,PO]=coef_prep(39。ghmorap39。)。a=PR(:,1:2)。b=PR(:,3:4)。x1=[]。 for i=1:length(xx)1 x1=[x1,a*xx(:,i)+b*xx(:,i+1)]。 end x1=[x1,a*xx(:,length(xx))+b*xx(:,1)]。 disp(39。直接使用矩陣乘積計(jì)算，得到的 xx的預(yù)濾波的結(jié)果 x1=39。)。disp(x1)。 aa=PO(:,1:2)。bb=PO(:,3:4