【正文】 第六章 基于小波變換的故障診斷方法 ? 小波變換的基本原理 ? 奇異性的檢測 ? 基于小波變換的原油管道泄漏檢測 一、小波變換的基本原理 小波變換 是由法國理論物理學(xué)家 Grossmann與法國數(shù)學(xué)家 Morlet共同提出的。 小波分析是近 20多年來發(fā)展起來的新興學(xué)科，其基礎(chǔ)是平移和伸縮下的不變性，這使得能將一個信號分解成對空間和尺度的獨(dú)立貢獻(xiàn)，同時又不丟失原有信號的信息。 小波的由來 小波變換是一種能夠在 時間－頻率 兩域?qū)π盘栠M(jìn)行分析的方法，具有可以對信號在不同范圍、不同的時間區(qū)域內(nèi)進(jìn)行分析，對噪聲不敏感，能夠分析到信號的任意細(xì)節(jié)等優(yōu)點(diǎn)，在信號處理領(lǐng)域獲得越來越廣泛的應(yīng)用，被譽(yù)為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。 小波分析和 Fourier分析 傅立葉變換 是一個十分重要的工具，無論是在一般的科學(xué)研究中，還是在工程技術(shù)的應(yīng)用中，它都發(fā)揮著基本工具的作用。 從歷史發(fā)展的角度來看，自從法國科學(xué)家 在 1807年為了得到熱傳導(dǎo)方程簡便解法而首次提出著名的傅立葉分析技術(shù)以來，傅立葉變換首先在電氣工程領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，之后，傅立葉變換迅速得到越來越廣泛的應(yīng)用，而且理論上也得到了深入研究。 傅立葉變換最重要的意義是它引進(jìn)了 頻率 的概念，他把一個函數(shù)展開成各種頻率的諧波的線性疊加，由此引出了一系列頻譜分析的理論。 很多在時域中看不清的問題，在頻域中卻能一目了然 。 因此，長期以來， Fourier分析理論不論在數(shù)學(xué)中還是工程科學(xué)中一直占領(lǐng)著極其重要的地位。 傅立葉分析 的實(shí)質(zhì)在于將一個任意的函數(shù) f(t)表示為具有不同頻率的諧波函數(shù)的線性疊加。即一族標(biāo)準(zhǔn)函數(shù) 的加權(quán)求和，從而將對原來函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對這個疊加的權(quán)系數(shù)的研究： }{ Re ti ???? ????? ??? ? degtf ti)(21)(其中，權(quán)函數(shù)： ? ???? ?? dtetfg ti??? )(21)(就是原來函數(shù) f(t)的傅里葉變換。 經(jīng)過以上的變換，就將對 )}({)()( 1 ?? gFgtf ??? ?的研究，轉(zhuǎn)化為對權(quán)系數(shù)，即其傅氏變換 )}({)()( tfFfg ?? ?? ? 的研究。 從以上分析可知，經(jīng)典的傅氏分析是一種純頻域分析。 上式中，各符號的含義： 表示頻域函數(shù)； 表示對原函數(shù) f(t)的傅里葉變換； 表示對頻域函數(shù) 的傅里葉反變換。 )(?g)(?f?)(?g? )(?g傅里葉變換是時域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把 f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。 從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。 例：假設(shè)一信號的主要頻率成分是 100Hz和 400Hz，如下圖所示，通過傅里葉變換對其頻率成分進(jìn)行頻域分析。 上圖為原始信號，從圖中看不出 100Hz和400Hz的任何頻域信息。 但從下圖的信號頻譜分析中，可以明顯看出信號的頻率特性。 從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域進(jìn)行觀察，但卻不能把兩者有機(jī)地結(jié)合起來。 信號的時域波形中不包含任何頻域信息；而其傅里葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息。 也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時侯產(chǎn)生的。 這樣，在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾： 時域和頻域的局部化矛盾 。 在實(shí)際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。 如在故障診斷中，故障點(diǎn)（機(jī)械故障、控制系統(tǒng)故障、電力系統(tǒng)故障等）一般都對應(yīng)于測試信號的突變點(diǎn)。 對于這些時變信號進(jìn)行分析，通常需要提取某一時間段（或瞬間）的頻率信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。 因此，需要尋求一種具有一定的 時間和頻率分辨率 的基函數(shù)來分析 時變信號 。 為了研究信號的局部特征，科學(xué)家們提出了一些對傅里葉變換進(jìn)行改進(jìn)的算法，其中短時傅里葉變換（ Short Time Fourier Transform－ STFT）就是比較有代表性的一種。 短時傅里葉變換是一種折衷的信號時、頻信息分析方法，它是 Dennis Gabor于 1946年提出的。 短時傅里葉變換 的 基本思想 是：通過給信號加一個小窗，將信號劃分為許多小的時間間隔，用傅里葉變換來對每一個時間間隔內(nèi)的信號進(jìn)行分析，以便確定該時間間隔內(nèi)的頻率信息。 它假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù) g(t)的這個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的（偽平穩(wěn)），并移動分析窗函數(shù)，使f(t)g(t τ )在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。 短時傅里葉變換定義如下： ? ???? ?? ?? dtetgtffF tig ????? )()(21),(其中， f(t)是待分析的信號； 函數(shù) 是 的復(fù)共軛函數(shù)； g(t)是固定的緊支集函數(shù)，稱為窗口函數(shù)。 )(??g )(?g隨著時間 τ的變化， g(t)所確定的“時間窗”在 t軸上移動，使 f(t)“逐漸”進(jìn)行分析。 短時傅里葉變換 大致反映了 f(t)在時刻 τ 時，頻率為 ω 的“信號成分”的相對含量。 ),( ??fFg這樣，信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在 ],[],[ ???????? ???? 、 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)， 并把這一區(qū)域稱為 窗口 ， δ和 ε分別稱為窗口的 時寬和 頻寬 ，表示了時－頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率越高。 為了得到更好的時頻分析效果，希望 δ和 ε都非常小，但是由 海森堡測不準(zhǔn)定理 （ Heisenberg Uncertainty Principle）可知， δ和 ε是互相制約的，兩者不可能同時都任意小。 （事實(shí)上， δε≥，且僅當(dāng) g(t)為高斯函數(shù)時，等號成立。） 由此可見，短時傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， τ和 ω只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。 可以說，短時傅里葉變換是具有單一分辨率的分析，這對分析信號來說是很不利的。 因?yàn)?，一般來說高頻信號持續(xù)的時間比較短，低頻信號持續(xù)的時間比較長。 為了更好地分析信號，信號的高頻成分需要窄的時間窗，而信號的低頻成分需要寬的時間窗。 而單一分辨率無法滿足這種要求。 正是由于傅立葉分析理論存在上述缺陷，人們一直在尋找更好的基來展開和描繪任意函數(shù)，經(jīng)過多年的探索和總結(jié)，逐漸發(fā)展成為小波分析理論。 小波變換繼承和發(fā)展了短時傅里葉變換的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形狀固定不變的缺點(diǎn)。它不但可以同時從 時域和頻域 觀測信號的 局部特征 ，而且 時間分辨率和頻率分辨率 都是可以 變化 的，是一種比較理想的信號處理方法。 1984年，法國地球物理學(xué)家 Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier變換難以達(dá)到要求，因而引入小波概念用于對信號進(jìn)行分解。 小波變換理論發(fā)展過程中的重要階段 1985年， Meyer構(gòu)造了具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù) ψ， 它的二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成了 L2(R)的規(guī)范正交基，這一發(fā)展標(biāo)志著小波熱的開始。 1986年， Lemarie和 Battle分別提出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。 1987年，法國馬賽召開第一次有關(guān)小波的國際會議。 1990年，崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)。 1988年， Mallat與 Meyer合作提出了多分辨分析的框架。 1988年， Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基。在美國 Pure＆ 87頁的論文，被公認(rèn)是小波分析的經(jīng)典文獻(xiàn)。 1989年， Mallat在多分辨率分析基礎(chǔ)上，構(gòu)造了Mallat算法。為此， Mallat于 1989年榮獲 IEEE論文獎。 1990年， Meyer等出版第一部小波系統(tǒng)性專著《 小波與算子 》 ，共三卷。尤眾、王耀東、鄧東皋等譯校成中文本（共兩冊）。這套書詳細(xì)研究了各種小波基的構(gòu)造，小波基與函數(shù)空間的關(guān)系，小波分析在復(fù)分析、算子論、偏微分方程與分線性分析等方面的應(yīng)用。 1991年，鄧東皋等在 《 數(shù)學(xué)進(jìn)展 》 上發(fā)表 “ 小波分析 ” －國內(nèi)第一篇小波論文。對國內(nèi)小波的研究和應(yīng)用起了很大的推動作用。 1992年， Daubechies的 《 小波 10講 》 系統(tǒng)論述了正交小波的緊支性、正則性、對稱性及時頻特性，介紹了離散小波變換和連續(xù)小波變換等。 到此，經(jīng)典小波理論已基本成熟， 1992年以后，在國際上，重點(diǎn)轉(zhuǎn)向小波的推廣和應(yīng)用。 在國內(nèi)，由于對小波的研究起步較晚， 20世紀(jì) 90年代以來，可以說小波的理論研究和應(yīng)用研究幾乎同時開始。 1994年，形成國內(nèi)的小波高潮。 近十年來，小波理論一直在各個不同研究領(lǐng)域扮演著重要的角色。主要集中在數(shù)學(xué)物理（如分形、混沌、求解方程等）、圖像與數(shù)據(jù)壓縮、信號處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、故障診斷與檢測、石油地質(zhì)勘探等方面。 定義 1： 稱滿足 的函數(shù) f(x)為 平方可積函數(shù) ，并把這類函數(shù)的集合記為 L2(R)。其中，R表示實(shí)數(shù)集合。 ????? ???dxxf 2)(若 f(x)， g(x) ∈ L2(R)， α， β 為常數(shù)，則 αf(x)＋ βg(x) ∈ L2(R)。因此， L2(R)構(gòu)成了一個線性空間。我們稱其為 平方可積函數(shù)空間 。 預(yù)備知識 定義 2： 在 L2(R)空間中的內(nèi)積 f， g定義為： ? ??????? dxxgxfgf )()(,其中， 表示 g(x)的共扼。 )(xg定義 3： 在 L2(R)空間，函數(shù) f(x)的范數(shù) ‖ f(x)‖ 定義為： ?? ???????? ?? dxxfdxxfxfxf 22 )()()()(定義 4： 在 L2(R)空間，若：內(nèi)積 f， g＝ 0，則稱函數(shù) f與函數(shù) g正交 。 定義 5： 在 L2(R)空間，兩個函數(shù) f(x)與 g(x)的卷積定義為： ? ???? ??? duuxgufxgf )()()(定義 6： 函數(shù) f(x)的傅里葉變換 定義為： ? ???? ?? dxexff xi?? )()(?)(? ?f定義 7： 對任意函數(shù) f(x)，其擴(kuò)張函數(shù) fs(x)定義為： )(1)( sxfsxf s ?其中， s為尺度因子（ scale factor），或簡稱為尺度。 定義 8： 把希爾伯特空間（ Hilbert space）中的可測的、平方可積的兩維函數(shù)構(gòu)成的子空間記作： L2(R2)。 函數(shù) f(x， y) ∈ L2(R2)的經(jīng)典范數(shù) ‖ f(x， y)‖ 定義為： 定義 9： dydxyxff ?? ????????? 22 ),(f(x， y) ∈ L2(R2)的傅里葉變換 ‖ f(x， y)‖ 定義為： 定義 10： dydxeyxff yxiyx yx?? ???? ??????? )(),(),(? ????