【正文】 第六章 基于小波變換的故障診斷方法 ? 小波變換的基本原理 ? 奇異性的檢測(cè) ? 基于小波變換的原油管道泄漏檢測(cè) 一、小波變換的基本原理 小波變換 是由法國(guó)理論物理學(xué)家 Grossmann與法國(guó)數(shù)學(xué)家 Morlet共同提出的。 小波分析是近 20多年來(lái)發(fā)展起來(lái)的新興學(xué)科，其基礎(chǔ)是平移和伸縮下的不變性，這使得能將一個(gè)信號(hào)分解成對(duì)空間和尺度的獨(dú)立貢獻(xiàn)，同時(shí)又不丟失原有信號(hào)的信息。 小波的由來(lái) 小波變換是一種能夠在 時(shí)間－頻率 兩域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析的方法，具有可以對(duì)信號(hào)在不同范圍、不同的時(shí)間區(qū)域內(nèi)進(jìn)行分析，對(duì)噪聲不敏感，能夠分析到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)等優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)處理領(lǐng)域獲得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，被譽(yù)為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。 小波分析和 Fourier分析 傅立葉變換 是一個(gè)十分重要的工具，無(wú)論是在一般的科學(xué)研究中，還是在工程技術(shù)的應(yīng)用中，它都發(fā)揮著基本工具的作用。 從歷史發(fā)展的角度來(lái)看，自從法國(guó)科學(xué)家 在 1807年為了得到熱傳導(dǎo)方程簡(jiǎn)便解法而首次提出著名的傅立葉分析技術(shù)以來(lái)，傅立葉變換首先在電氣工程領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，之后，傅立葉變換迅速得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，而且理論上也得到了深入研究。 傅立葉變換最重要的意義是它引進(jìn)了 頻率 的概念，他把一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成各種頻率的諧波的線性疊加，由此引出了一系列頻譜分析的理論。 很多在時(shí)域中看不清的問(wèn)題，在頻域中卻能一目了然 。 因此，長(zhǎng)期以來(lái)， Fourier分析理論不論在數(shù)學(xué)中還是工程科學(xué)中一直占領(lǐng)著極其重要的地位。 傅立葉分析 的實(shí)質(zhì)在于將一個(gè)任意的函數(shù) f(t)表示為具有不同頻率的諧波函數(shù)的線性疊加。即一族標(biāo)準(zhǔn)函數(shù) 的加權(quán)求和，從而將對(duì)原來(lái)函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)疊加的權(quán)系數(shù)的研究： }{ Re ti ???? ????? ??? ? degtf ti)(21)(其中，權(quán)函數(shù)： ? ???? ?? dtetfg ti??? )(21)(就是原來(lái)函數(shù) f(t)的傅里葉變換。 經(jīng)過(guò)以上的變換，就將對(duì) )}({)()( 1 ?? gFgtf ??? ?的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)權(quán)系數(shù)，即其傅氏變換 )}({)()( tfFfg ?? ?? ? 的研究。 從以上分析可知，經(jīng)典的傅氏分析是一種純頻域分析。 上式中，各符號(hào)的含義： 表示頻域函數(shù)； 表示對(duì)原函數(shù) f(t)的傅里葉變換； 表示對(duì)頻域函數(shù) 的傅里葉反變換。 )(?g)(?f?)(?g? )(?g傅里葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把 f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。 從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。 例：假設(shè)一信號(hào)的主要頻率成分是 100Hz和 400Hz，如下圖所示，通過(guò)傅里葉變換對(duì)其頻率成分進(jìn)行頻域分析。 上圖為原始信號(hào)，從圖中看不出 100Hz和400Hz的任何頻域信息。 但從下圖的信號(hào)頻譜分析中，可以明顯看出信號(hào)的頻率特性。 從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域進(jìn)行觀察，但卻不能把兩者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。 信號(hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息；而其傅里葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息。 也就是說(shuō)，對(duì)于傅里葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)侯產(chǎn)生的。 這樣，在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾： 時(shí)域和頻域的局部化矛盾 。 在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。 如在故障診斷中，故障點(diǎn)（機(jī)械故障、控制系統(tǒng)故障、電力系統(tǒng)故障等）一般都對(duì)應(yīng)于測(cè)試信號(hào)的突變點(diǎn)。 對(duì)于這些時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分析，通常需要提取某一時(shí)間段（或瞬間）的頻率信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。 因此，需要尋求一種具有一定的 時(shí)間和頻率分辨率 的基函數(shù)來(lái)分析 時(shí)變信號(hào) 。 為了研究信號(hào)的局部特征，科學(xué)家們提出了一些對(duì)傅里葉變換進(jìn)行改進(jìn)的算法，其中短時(shí)傅里葉變換（ Short Time Fourier Transform－ STFT）就是比較有代表性的一種。 短時(shí)傅里葉變換是一種折衷的信號(hào)時(shí)、頻信息分析方法，它是 Dennis Gabor于 1946年提出的。 短時(shí)傅里葉變換 的 基本思想 是：通過(guò)給信號(hào)加一個(gè)小窗，將信號(hào)劃分為許多小的時(shí)間間隔，用傅里葉變換來(lái)對(duì)每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行分析，以便確定該時(shí)間間隔內(nèi)的頻率信息。 它假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù) g(t)的這個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的（偽平穩(wěn)），并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使f(t)g(t τ )在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。 短時(shí)傅里葉變換定義如下： ? ???? ?? ?? dtetgtffF tig ????? )()(21),(其中， f(t)是待分析的信號(hào)； 函數(shù) 是 的復(fù)共軛函數(shù)； g(t)是固定的緊支集函數(shù)，稱(chēng)為窗口函數(shù)。 )(??g )(?g隨著時(shí)間 τ的變化， g(t)所確定的“時(shí)間窗”在 t軸上移動(dòng)，使 f(t)“逐漸”進(jìn)行分析。 短時(shí)傅里葉變換 大致反映了 f(t)在時(shí)刻 τ 時(shí)，頻率為 ω 的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。 ),( ??fFg這樣，信號(hào)在窗函數(shù)上的展開(kāi)就可以表示為在 ],[],[ ???????? ???? 、 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)， 并把這一區(qū)域稱(chēng)為 窗口 ， δ和 ε分別稱(chēng)為窗口的 時(shí)寬和 頻寬 ，表示了時(shí)－頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率越高。 為了得到更好的時(shí)頻分析效果，希望 δ和 ε都非常小，但是由 海森堡測(cè)不準(zhǔn)定理 （ Heisenberg Uncertainty Principle）可知， δ和 ε是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意小。 （事實(shí)上， δε≥，且僅當(dāng) g(t)為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立。） 由此可見(jiàn)，短時(shí)傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， τ和 ω只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。 可以說(shuō)，短時(shí)傅里葉變換是具有單一分辨率的分析，這對(duì)分析信號(hào)來(lái)說(shuō)是很不利的。 因?yàn)?，一般?lái)說(shuō)高頻信號(hào)持續(xù)的時(shí)間比較短，低頻信號(hào)持續(xù)的時(shí)間比較長(zhǎng)。 為了更好地分析信號(hào)，信號(hào)的高頻成分需要窄的時(shí)間窗，而信號(hào)的低頻成分需要寬的時(shí)間窗。 而單一分辨率無(wú)法滿足這種要求。 正是由于傅立葉分析理論存在上述缺陷，人們一直在尋找更好的基來(lái)展開(kāi)和描繪任意函數(shù)，經(jīng)過(guò)多年的探索和總結(jié)，逐漸發(fā)展成為小波分析理論。 小波變換繼承和發(fā)展了短時(shí)傅里葉變換的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形狀固定不變的缺點(diǎn)。它不但可以同時(shí)從 時(shí)域和頻域 觀測(cè)信號(hào)的 局部特征 ，而且 時(shí)間分辨率和頻率分辨率 都是可以 變化 的，是一種比較理想的信號(hào)處理方法。 1984年，法國(guó)地球物理學(xué)家 Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier變換難以達(dá)到要求，因而引入小波概念用于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。 小波變換理論發(fā)展過(guò)程中的重要階段 1985年， Meyer構(gòu)造了具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù) ψ， 它的二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成了 L2(R)的規(guī)范正交基，這一發(fā)展標(biāo)志著小波熱的開(kāi)始。 1986年， Lemarie和 Battle分別提出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。 1987年，法國(guó)馬賽召開(kāi)第一次有關(guān)小波的國(guó)際會(huì)議。 1990年，崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)。 1988年， Mallat與 Meyer合作提出了多分辨分析的框架。 1988年， Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基。在美國(guó) Pure＆ 87頁(yè)的論文，被公認(rèn)是小波分析的經(jīng)典文獻(xiàn)。 1989年， Mallat在多分辨率分析基礎(chǔ)上，構(gòu)造了Mallat算法。為此， Mallat于 1989年榮獲 IEEE論文獎(jiǎng)。 1990年， Meyer等出版第一部小波系統(tǒng)性專(zhuān)著《 小波與算子 》 ，共三卷。尤眾、王耀東、鄧東皋等譯校成中文本（共兩冊(cè)）。這套書(shū)詳細(xì)研究了各種小波基的構(gòu)造，小波基與函數(shù)空間的關(guān)系，小波分析在復(fù)分析、算子論、偏微分方程與分線性分析等方面的應(yīng)用。 1991年，鄧東皋等在 《 數(shù)學(xué)進(jìn)展 》 上發(fā)表 “ 小波分析 ” －國(guó)內(nèi)第一篇小波論文。對(duì)國(guó)內(nèi)小波的研究和應(yīng)用起了很大的推動(dòng)作用。 1992年， Daubechies的 《 小波 10講 》 系統(tǒng)論述了正交小波的緊支性、正則性、對(duì)稱(chēng)性及時(shí)頻特性，介紹了離散小波變換和連續(xù)小波變換等。 到此，經(jīng)典小波理論已基本成熟， 1992年以后，在國(guó)際上，重點(diǎn)轉(zhuǎn)向小波的推廣和應(yīng)用。 在國(guó)內(nèi)，由于對(duì)小波的研究起步較晚， 20世紀(jì) 90年代以來(lái)，可以說(shuō)小波的理論研究和應(yīng)用研究幾乎同時(shí)開(kāi)始。 1994年，形成國(guó)內(nèi)的小波高潮。 近十年來(lái)，小波理論一直在各個(gè)不同研究領(lǐng)域扮演著重要的角色。主要集中在數(shù)學(xué)物理（如分形、混沌、求解方程等）、圖像與數(shù)據(jù)壓縮、信號(hào)處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、故障診斷與檢測(cè)、石油地質(zhì)勘探等方面。 定義 1： 稱(chēng)滿足 的函數(shù) f(x)為 平方可積函數(shù) ，并把這類(lèi)函數(shù)的集合記為 L2(R)。其中，R表示實(shí)數(shù)集合。 ????? ???dxxf 2)(若 f(x)， g(x) ∈ L2(R)， α， β 為常數(shù)，則 αf(x)＋ βg(x) ∈ L2(R)。因此， L2(R)構(gòu)成了一個(gè)線性空間。我們稱(chēng)其為 平方可積函數(shù)空間 。 預(yù)備知識(shí) 定義 2： 在 L2(R)空間中的內(nèi)積 f， g定義為： ? ??????? dxxgxfgf )()(,其中， 表示 g(x)的共扼。 )(xg定義 3： 在 L2(R)空間，函數(shù) f(x)的范數(shù) ‖ f(x)‖ 定義為： ?? ???????? ?? dxxfdxxfxfxf 22 )()()()(定義 4： 在 L2(R)空間，若：內(nèi)積 f， g＝ 0，則稱(chēng)函數(shù) f與函數(shù) g正交 。 定義 5： 在 L2(R)空間，兩個(gè)函數(shù) f(x)與 g(x)的卷積定義為： ? ???? ??? duuxgufxgf )()()(定義 6： 函數(shù) f(x)的傅里葉變換 定義為： ? ???? ?? dxexff xi?? )()(?)(? ?f定義 7： 對(duì)任意函數(shù) f(x)，其擴(kuò)張函數(shù) fs(x)定義為： )(1)( sxfsxf s ?其中， s為尺度因子（ scale factor），或簡(jiǎn)稱(chēng)為尺度。 定義 8： 把希爾伯特空間（ Hilbert space）中的可測(cè)的、平方可積的兩維函數(shù)構(gòu)成的子空間記作： L2(R2)。 函數(shù) f(x， y) ∈ L2(R2)的經(jīng)典范數(shù) ‖ f(x， y)‖ 定義為： 定義 9： dydxyxff ?? ????????? 22 ),(f(x， y) ∈ L2(R2)的傅里葉變換 ‖ f(x， y)‖ 定義為： 定義 10： dydxeyxff yxiyx yx?? ???? ??????? )(),(),(? ????