【正文】 直接使用矩陣乘積 pr_mat*s計算，得到的 s的預濾波的結果 s1= MWMP中的相同預濾波方法計算得 fp,結果如下，可以看出，將 s1向量化后就是 fp 直接使用矩陣乘積 po_mat*s1計算，得到的 s1的后濾波的結果 s2= 8 12 0 5 20 3 9 16 22 6 55 21 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實 現(xiàn) 上頁 下頁 退出function [prmat,pomat]=pmatrix(len,pflt) [PR,PO]=coef_prep(pflt)。 prmat=[]。pomat=[pomat。(q*s39。)39。 ans = 0 fp=prep1D_appe([8,12,0,5,20,3,9,16,22,6],39。我們知道，多小波變換的過程一般為 一維信號 → 預濾波 → 分解 → 重構 → 后濾波 → 一維信號 如果也能夠將小波變換的主要步驟，即 → 分解 → 重構 → 寫成矩陣變換形式的表達式，那么，結合預濾波變換矩陣和后濾波變換矩陣的表達式，我們就可以將多小波變換寫成一個統(tǒng)一的矩陣變換形式。 z=zeros(r,r)。L1]。如果經過預濾波后的數(shù)據(jù)即向量為 s1，則矩陣乘法運算 s2=L*s1, 或者 s2=H*s1 就是經過 1次小波變換后的低頻或者高頻系數(shù)，自編函數(shù)如下： 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實 現(xiàn) 上頁 下頁 退出 n=16。[p,q]=pmatrix(n,39。)。s1=(p*s39。x=1:n。sa4ap39。s2=LL*s1。)。 S1=(L1*p*x)。 [L1,H1]=mdwt_matrix(n,39。 [L1,H1]=mdwt_matrix(n,flt)。 [L1,H1]=mdwt_matrix(n,39。D1]。)。sa4ap39。x=(1:n)39。sa439。sa4ap39。*x1。)。H2*L1。個子帶，可直接使用上的如果直接提取小波變換，個子帶是次變換后的經過。)。H3*L2*L1。)。 x539。x1=x.^3。sa439。sa439。x5=A*p*x139。x=linspace(1,2,n)。sa4ap39。 A=[L2*L1。 ans = 或者是我們自編子程序的計算結果： 低頻部分 次高頻部分 高頻部分 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實 現(xiàn) 上頁 下頁 退出x4 = 低頻部分 次高頻部分 高頻部分 ans = 低頻部分 次高頻部分 高頻部分 對上面的 2種變換的不同數(shù)據(jù)形式，即 或者是自編子程序的變換結果： 我們想將小波變換系數(shù)，按照多小波變換更細致的頻帶劃分，將系數(shù)排列成由低頻到高頻的形式，例如數(shù)據(jù) x經過 2 次變換后，被分成 6個子帶，我們想讓這 6個子帶以從低頻到高頻的順序，形成一個 1維數(shù)組，對于上面數(shù)據(jù)，就是 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實 現(xiàn) 上頁 下頁 退出調用自編子程序 new_coef=mdwt_coef(old_coef,m)就可以達到要求。 x3=prep1D_appe(x1,39。 [L1,H1]=mdwt_matrix(n,39。H1]。 A=[L2*L1。sa4ap39。x=linspace(1,2,n)。x5=A*p*x139。sa439。sa439。x1=x.^3。H2*L1。)。)。 n=16。 ans = 0 0 x5=q*B39。 ans = 0 0 x2=prep1D_appe(x,39。)。 [L2,H2]=mdwt_matrix(n/2,39。 %第 2次變換的低頻 ans = (H2*L1*p*x)39。)。[p,q]=pmatrix(n,39。 x439。x139。)。進行第 2次小波變換的推導公式如下： 1 1 1112 2 4 4 2 2 4 2 2121 1 2 2 1 2 11 1 1112 2 4 4 2 2 4 2 21 1 2 2 1 2 112 2 12 2 111 n n n n n n n n nnnn n n n n nn n n n n n n n nnnn n n n n nnS L P x S L S L L P xxD H P x D H S H L P xS L L P xD H L P xD H P x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?????????? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ ） （ ）由 此 得2 1 2 112 1 2 11121211nnn n nL L L LH L P x H L P xHHLLH L PH???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????， 由 此 式 知 ， y=就 是 進 行 2 次 整 體 多 小 波 變 換 ， y 是 變 換 結 果 ， y 是 一 個 列 向 量 ， 前 n/4 是 變 換 的低 頻 ， 然 后 的 n/4 是 次 高 頻 ， 然 后 的 n/2 是 高 頻 ， 而 是 變 換 矩 陣 。 x139。[p,q]=pmatrix(n,39。H1]39。sa4ap39。 D139。sa4ap39。 ans = reshape(s2,[2,n/4]) ans = 下面是此函數(shù)調用的演示結果： 多 小 波 變 換 的 矩 陣 形 式 及 其 軟 件 實 現(xiàn) 上頁 下頁 退出假設要變換的初始數(shù)據(jù) x=[x1,x2,…,xn] T的元素個數(shù)是 n=2^m個 , 在這種情況下，對數(shù)據(jù)進行第 1次小波變換可表示為： S1=L1*P*x, D1=H1*P*x 其中 S D1的元素個數(shù)是 n/2個， S1是低頻系數(shù)， D1是高頻系數(shù)， L1是低頻變換矩陣， H1是高頻變換矩陣， P是預濾波變換矩陣，具體調用形式為： [p,q]=pmatrix(n,pflt)。s=1:n。sa439。,1) x2 = 0 n=16。s239。)。[LL,HH]=mdwt_matrix(n,39。ghm39。,2*r)39。H_matrix=[]。[i,j]=size(L)。)39。(q*s39。)39。s=(p*[8,12,0,5,20,3,9,16,22,6]39。 po1=circshift(po139。 pr1=[PR,zeros(r,lenr*k)]。 從前一個幻燈片知道，如果預濾波和后濾波器的長度為 1，則預濾波變換矩陣 P和后濾波變換矩陣 Q都是對角矩陣，而 SA4多小波的預濾波和后濾波器的長度為 1。z,z,z,z,y,z。 disp(39。 disp(39。z=zeros(size(x))。)。直接使用矩陣乘積 po_mat*s1計算，得到的 s1的后濾波的結果 s2=39。 po_mat=[y,z,z,z,z,x。)。 s1=pr_mat*s。b=PR(:,3:4)。原始數(shù)據(jù) x=39。)。對前面預濾波的數(shù)據(jù) x1,使用矩陣乘積方法進行后濾波，得到 x2=39。 for i=1:length(xx) x1=[x1,PR*xx(:,i)]。disp(39。disp(x)。0,5。ghmorap39。 x2=[]。 for i=1:length(xx)1 x1=[x1,a*xx(:,i)+b*xx(:,i+1)]。)。向量化后的數(shù)據(jù) xx=39。9,16。 disp(39。 for i=1:length(x1)1 x2=[x2,aa*x1(:,i)+bb*x1(:,i+1)]。 disp(39。[PR,PO]=coef_prep(39。disp(xx)。55,21]39。 預濾波的一般表示形式： 由于在實際應用中，我們使用的多小波都是 2重的，即 r=2，此時，預濾波器可以寫成如下的通用形式： ??????????????Lmmk kmfkmfPc0 210 )()(其中 P_0, P_1, …, P_L 就是長度為 L+1的預濾波器。一維多小波變換過程如下： 一維信號 → 預濾波 → 分解 → 重構 → 后濾波 → 一維信號 研究多小波變換的矩陣表示，首先應該知道預濾波與后濾波的矩陣表示形式。 因此，在使用這個公式前，必須進行預處理，使進行小波變換的一維數(shù)據(jù)變成 rXN維的數(shù)據(jù)，這稱為預濾波。 恒等預濾波方法 就是按信號的前后順序，直接將信號變成向量，不做其它處理，直接進行多小波變換的方法。xx=[8,12。)。)。a=PR(:,1:2)。disp(x1)。)。disp(round(fp1))。 disp(39。 fp=prep1D_appe(x,39。ghmorap39。直接使用矩陣乘積計算，得到的 xx的預濾波的結果 x1=39。 end disp(39。使用 prep1D_appe函數(shù)對 x進行后濾波，得到數(shù)據(jù) fp1=39。22,6。)。 disp(fp)。)。 fp1=postp1D_appe(fp,39。假設我們使用 GHM多小波的雙正交 GHMAP預濾波與后濾波方法，對 12個數(shù)據(jù)的一維信號s進行計算，預濾波與后濾波變換矩陣可以表示為 : 0 1 1 00 1 0 10 1 0 10 1 0 10 1 0 11 0 0 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0=PP P Q QP P Q QP P Q QPQP P Q QP P Q QP P Q Q? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11預 濾 波 的 矩 陣 計 算 公 式 為 ： s * s , 其 中 * 表 示 矩 陣 的 乘 法 運 算 符 號 。)。c,a,b,c,c,c。)。)。z,z,x,y,z,z。))。 [PR,PO]=coef_prep(39。z,z,x,z,z,z。disp(s139。disp(fp)。 disp(39。 [i,j]=size(PR)。pomat=[]。po1]。)39。 ans = 0 [p,q]=pmatrix(10,39。ghmorap39。 基于此，下面我們考慮，進行 1次小波分解與重構的矩陣表示形式。k=max