【正文】 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ) 測(cè)繪工程專業(yè)核心課程 Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment 主講教師：隋銘明 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 課程結(jié)構(gòu) 緒論 誤差分布與精度指標(biāo) 協(xié)方差傳播律及權(quán) 最小二乘原理 條件平差 附有參數(shù)的條件平差 間接平差 附有限制條件的間接平差 概括平差函數(shù)模型 誤差橢圓 2 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?課程基本情況 ?教材 《 誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ) 》 《 誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)習(xí)題集 》 武漢大學(xué)出版社 總學(xué)時(shí) 講課 上機(jī) 習(xí)題 72 50 12 10 3 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?怎樣學(xué)好測(cè)量平差 預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)加習(xí)題練習(xí) 獨(dú)立思考并推導(dǎo)公式 平差思想和解題思路 高數(shù) 線代 概率 習(xí)題練習(xí) 公式推導(dǎo) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 習(xí)題練習(xí) 公式推導(dǎo) 平差思想 平差思想 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 4 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?為什么要學(xué)測(cè)量平差？ 1. 測(cè)量過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn) 照錯(cuò)目標(biāo) 讀錯(cuò)數(shù) 如何避免錯(cuò)誤或及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤？ 解決方法：增加多余觀測(cè)。 2. 有多余觀測(cè)，如何消除不符，求出最優(yōu)值？ 5 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 測(cè)量平差的任務(wù)和意義 ? 任務(wù) 1） 消除不符值，尋求未知參數(shù)的最佳估值； 2） 評(píng)定結(jié)果的精度。 ? 意義 所有觀測(cè)數(shù)據(jù)只有通過(guò)平差才能使用，即測(cè)量平差是測(cè)繪科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)和靈魂。 6 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?測(cè)量平差的作用和地位 1）解決測(cè)量工作中的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求出最佳估值。 2）是測(cè)繪學(xué)科的基礎(chǔ)理論，是對(duì)儀器操作和基本測(cè)量方法的主要補(bǔ)充。 3）其核心知識(shí)是后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，如大地測(cè)量、GPS測(cè)量原理、變形監(jiān)測(cè)等。 4）是測(cè)繪工程專業(yè)研究生入學(xué)考試課程，是碩士和博士階段的重要課程。 7 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?課程結(jié)構(gòu) 參見(jiàn)目錄 8 章節(jié) 主要內(nèi)容 Ch1 緒論 Ch2 Ch3 平差基礎(chǔ)知識(shí) Ch4 平差基本原則 Ch5 Ch8 四種經(jīng)典平差方法 Ch9 平差方法總結(jié) Ch10 點(diǎn)位精度討論 Ch11 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn) Ch12 近代平差簡(jiǎn)介 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch1 緒論 ?基本概念 ? 誤差 對(duì)未知量進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程稱為 觀測(cè) ，測(cè)量所得的結(jié)果稱為 觀測(cè)值 。觀測(cè)值與其真實(shí)值（真值）之間的差異稱為測(cè)量誤差或觀測(cè)誤差，通常稱 真誤差 ，簡(jiǎn)稱 誤差 。 ? 測(cè)量平差 測(cè)量平差是測(cè)量數(shù)據(jù)調(diào)整的意思。其定義是，依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測(cè)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。 9 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 觀測(cè)誤差 一、誤差來(lái)源 測(cè)量?jī)x器：儀器精密度；儀器軸線關(guān)系引起。 觀測(cè)者：操作水平，工作態(tài)度，使用習(xí)慣。 外界環(huán)境：溫度，濕度，風(fēng)力，大氣折光等。 10 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 觀測(cè)誤差 二、誤差分類 ? 偶然誤差 在相同誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出偶然性 ? 系統(tǒng)誤差 誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定規(guī)律變化 ? 粗差 即錯(cuò)誤 11 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 觀測(cè)誤差 誤差名稱 誤差特點(diǎn) 消除或削弱的辦法 舉例 偶然誤差 Random error 單個(gè)誤差沒(méi)有規(guī)律性，整體具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，服從或近似服從正態(tài)分布 采用測(cè)量平差的方法 照準(zhǔn)誤差 對(duì)中誤差 估讀誤差 系統(tǒng)誤差 Systematic error 誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定規(guī)律變化，或?yàn)槌?shù) 采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法 校正儀器 計(jì)算加改正 尺長(zhǎng)誤差 i角誤差 粗差 Gross error 即大的偏差或錯(cuò)誤 重復(fù)觀測(cè) 嚴(yán)格檢核 發(fā)現(xiàn)舍棄或重測(cè) 大數(shù)讀錯(cuò) 輸入錯(cuò)誤 照錯(cuò)目標(biāo) 12 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 測(cè)量平差的研究對(duì)象 研究對(duì)象： 帶有誤差的觀測(cè)值 經(jīng)典測(cè)量平差： 只含有偶然誤差的觀測(cè)值 近代測(cè)量平差： 觀測(cè)值除了含有偶然誤差，還含有系統(tǒng)誤差或粗差，或兩種兼有。 平差問(wèn)題的解決思路： 13 分析觀測(cè)值 選擇平差準(zhǔn)則 確定平差模型 解算模型 精度評(píng)定 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 測(cè)量平差簡(jiǎn)史及發(fā)展 ?1794年， . Gauss從概率統(tǒng)計(jì)角度提出了最小二乘法 ?1806年， . Legendre從代數(shù)角度提出了最小二乘法 ?1809年， Gauss在 《 天體運(yùn)動(dòng)的理論 》 一文中發(fā)表，稱為 Gauss Legendre方法 ?1912年， . Markov，對(duì)最小二乘原理進(jìn)行了證明，形成數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型 +隨機(jī)模型） ?近代發(fā)展 ?現(xiàn)在的國(guó)內(nèi)相關(guān)專家 14 12020)(,0lim)(???????????????PQAXLEnEAXLn??PLAPAAX TT 1)( ?? ?南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 本課程的任務(wù)和內(nèi)容 ?本書主要為經(jīng)典測(cè)量平差內(nèi)容，即只討論帶有偶然誤差的觀測(cè)值。 （ 1）偶然誤差理論。偶然誤差特性，傳播；精度指標(biāo)及估計(jì)；權(quán)。 （ 2）測(cè)量平差的函數(shù)模型和隨機(jī)模型，最小二乘原理。 （ 3）測(cè)量平差的基礎(chǔ)方法。條件平差，附有未知參數(shù)的條件平差，間接平差，附有限制條件的間接平差。平差計(jì)算模型及精度評(píng)定公式，各種平差方法的概括及聯(lián)系。 （ 4）測(cè)量平差中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法。 15 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 16 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 Ch2 誤差分布與精度指標(biāo) 偶然誤差的規(guī)律性 1 正態(tài)分布 2 精度及其衡量精度指標(biāo) 3 本章總結(jié)及習(xí)題 4 17 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 基本假設(shè)： 系統(tǒng)誤差已消除，粗差不存在，即觀測(cè)誤差僅為隨機(jī)誤差。 偶然誤差： 單個(gè)誤差在誤差大小及符號(hào)上沒(méi)有明顯的規(guī)律，表現(xiàn)出隨機(jī)性，稱為偶然誤差。但對(duì)大量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)具有明顯的規(guī)律。 尋找偶然誤差之規(guī)律性的方法 (統(tǒng)計(jì)分析 )： 統(tǒng)計(jì)表 直方圖 誤差分布 iii LL ???~18 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 統(tǒng)計(jì)表 誤差 區(qū)間 — △ +△ 個(gè)數(shù) K 頻率 K/n (K/n)/d△ 個(gè)數(shù) K 頻率 K/n (K/n)/d△ ~ 45 46 ~ 40 41 ~ 33 33 ~ 23 21 ~ 17 16 ~ 13 13 ~ 6 5 ~ 4 2 0 0 0 0 0 0 和 181 177 ? 例 1：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了 358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和應(yīng)為 180度，但由于誤差的影響往往不等于 180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔 。 19 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 (K/n)/d△ 0 閉合差 概率密度函數(shù)曲線 面積 = [(K/n)/d△ ]* d△ = K/n 所有面積之和 =k1/n+k2/n+…..=1 直方圖 20 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 偶然誤差的特性 由統(tǒng)計(jì)分析可以看出，偶然誤差具有下列特性： 有界性： 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，即超過(guò)一定限值的偶然誤差出現(xiàn)的概率為零 聚中性： 絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值較大的偶然誤差出現(xiàn)的概率大； 對(duì)稱性： 絕對(duì)值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的概率相同； 抵償性： 偶然誤差的理論平均值為零，即 01lim1??????niii n21 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 ? 例 2：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了 421個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于 180度，但由于誤差的影響往往不等于 180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔 。 誤差 區(qū)間 — △ +△ 個(gè)數(shù) K 頻率 K/n (K/n)/d△ 個(gè)數(shù) K 頻率 K/n (K/n)/d△ ~ 40 46 ~ 34 41 ~ 31 33 ~ 25 21 ~ 20 16 ~ 16 13 …… …… …… …… . …… …… …… ~ 1 2 0 0 0 0 0 0 和 210 211 22 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 頻數(shù) /d? 0 閉合差 頻數(shù) /d? 0 閉合差 頻數(shù) /d? 0 閉合差 .4 .6 . .6 .4 閉合差提示： 觀測(cè)值定了其分布也就確定了，因此一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)相同的分布。不同的觀測(cè)序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。 22221)( ??????? ef圖 1 圖 2 23 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 ??n 頻數(shù) /d? 0 閉合差 閉合差22221)( ??????? ef 當(dāng)偶然誤差的個(gè)數(shù) 時(shí)，偶然誤差出現(xiàn)的頻率就趨于穩(wěn)定。此時(shí)，若把偶然誤差區(qū)間的間隔無(wú)限縮小，則直方圖將分別變?yōu)槿鐖D所示的兩條光滑的曲線。 24 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 由概率論知，該曲線是 正態(tài)分布 的概率分布曲線。高斯在研究誤差理論時(shí)最先使用了這一分布，所以正態(tài)分布又稱為 高斯分布 。測(cè)量上通常將正態(tài)分布作為偶然誤差的理論分布?；蛘哒f(shuō)偶然誤差服從正態(tài)分布。其密度函數(shù)為： 式中： 和 為參數(shù)。 ????????????? ????? ,)(21e x p21)( 22 ????f? ? 25 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 由密度函數(shù) 知，偶然誤差 為正態(tài)隨機(jī)變量。所以又稱偶然誤差為隨機(jī)誤差。 下面來(lái)看參數(shù) 和 是什么。 對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量 求數(shù)學(xué)期望： ????????????? ????? ,)(2 1e x p21)( 22 ????f?? ????????? ?????????? ?? ???????? ddfE 22 )(2 1e x p21)()( ???? 26 南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院 作變量代換，令 得 因 ?????tdttdtttdtttE?????????????????????????????????????????22221e x p221e x p221e x p)(21)(????????221e x p,021e x p 22 ???????