【正文】 第二章 測(cè)量誤差分析與處理 ? 當(dāng)對(duì)同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測(cè)量 ， 得到一系列不同的測(cè)量值 ， 稱為 測(cè)量列 。 ? 利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法 ， 從理論上來(lái)估計(jì)隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 ， 也就是首先從測(cè)量列中求得一個(gè)最優(yōu)概值 ， 然后對(duì)最優(yōu)概值的測(cè)量誤差作出估計(jì) ， 得出測(cè)量值 ， 這就是 數(shù)據(jù)處理 。 第一節(jié) 隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 一、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì) ? 測(cè)定值的隨機(jī)性表明了測(cè)量誤差的隨機(jī)性質(zhì)。 ? 隨機(jī)誤差就其個(gè)體來(lái)說(shuō)變化是無(wú)規(guī)律的，但在總體上卻遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 ? 測(cè)量列中的隨機(jī)誤差： δi = xi－ X0 式中 ,δi —— 測(cè)量列的隨機(jī)誤差， i = 1， 2，3， … ， n； xi —— 測(cè)量列的測(cè)量值； X0 —— 被測(cè)量的真值 。 ? 隨機(jī)誤差分布的性質(zhì) ? 有界性： 在一定的測(cè)量條件下 ， 測(cè)量的隨機(jī)誤差總是在一定的 、 相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動(dòng) ， 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零 。 ? 單峰性： 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大 ，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小 ， 絕對(duì)值為零的誤差出現(xiàn)的概率比任何其它數(shù)值的誤差出現(xiàn)的概率都大 。 ?對(duì)稱性： 絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相同 ， 其分布呈對(duì)稱性 。 ?抵償性： 在等精度測(cè)量條件下 ， 當(dāng)測(cè)量次數(shù)不斷增加而趨于無(wú)窮時(shí) ， 全部隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零 。 ? 正態(tài)分布的 分布密度函數(shù) 為 式中 ， —— 標(biāo)準(zhǔn)誤差 （ 均方根誤差 ） ； e —— 自然對(duì)數(shù)的底 。 ? 如用測(cè)定值 x本身來(lái)表示 ， 則 ? ?22212???????fe?? ?202( x X )21f x e2??????n0ini11X li m xn?? ?? ?n2ini11l imn?????? ?二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分 ? 對(duì)于一定的被測(cè)量 ， 在靜態(tài)情況下 ， X0是一定的 ， σ 的大小表征著諸測(cè)定值的彌散程度 。 ? σ 值越小 ， 正態(tài)分布密度曲線越尖銳 ，幅值越大； σ 值越大 ， 正態(tài)分布密度曲線越平坦 ， 幅值越小 。 ? 可用參數(shù) σ 來(lái)表征測(cè)量的精密度 ， σ 越小 ， 表明測(cè)量的精密度越高 。 ? σ 并不是一個(gè)具體的誤差 ，它的數(shù)值大小只說(shuō)明了在一定條件下進(jìn)行一列等精度測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。 ? 在一定條件下進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，任何單次測(cè)定值的誤差 δ i可能都不等于 σ ，但我們認(rèn)為 這列測(cè)定值具有同樣的均方根誤差 σ ；而不同條件下進(jìn)行的兩列等精度測(cè)量，一般來(lái)說(shuō)具有不同的 σ 值。 ? 隨機(jī)誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個(gè)測(cè)定值的真誤差 δ i的數(shù)值，而只能在一定的概率意義之下估計(jì)測(cè)量隨機(jī)誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個(gè)區(qū)間得概率。 ? 將正態(tài)分布密度函數(shù)積分 ? 概率積分 ? ?202( x X )x21F x e d x2???????? ?22b 2a1P ( a b ) e d2???????? ? ? ?22a 201P ( a a ) P ( a ) 2 e d2??? ? ????? ? ? ? ? ? ?2zz202P ( a ) P ( z ) e d z ( z )2? ? ? ???? ? ? ? ??若令 a=zσ，則 第二節(jié) 直接測(cè)量誤差分析與處理 ? 子樣平均值： 代表由 n個(gè)測(cè)定值 x1, x2, …, x n組成的子樣的散布中心 ? 子樣方差： 描述子樣在其平均值附近散布程度 n22ii11s ( x x )n ????nii11xxn ?? ?一、算術(shù)平均值原理 ? 測(cè)定值子樣的算術(shù)平均值是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。 ? 算術(shù)平均值的意義 設(shè) x x … ， xn為 n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值 為 xni1 2 n i 1xx x xxnn?? ? ????? 算術(shù)平均值的性質(zhì) 用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值 ， 則有 式中 vi —— xi的剩余誤差； xi —— 第 i個(gè)測(cè)量值 ， i=1， 2， … ， n。 iiv x x?? （ 1） 剩余誤差的代數(shù)和等于零 ， 即 （ 2） 剩余誤差的平方和為最小 ， 即 01???niiv最小???niiv12? 測(cè)定值子樣平均值的均方根誤差是測(cè)定值母體均方根誤差的 倍。 ? 在等精度測(cè)量條件下對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量，用測(cè)定值子樣平均值估計(jì)被測(cè)量真值比用單次測(cè)量測(cè)定值估計(jì)具有 更高 的精密度。 n/1x n?? ?二、 貝塞爾公式 ? 因?yàn)檎嬷?X0為未知 ， 所以必須用殘差 vi來(lái)表示 ， 即 此式稱 貝塞爾公式 。 ? ? 222 2 2 01 2 1 1?? ? ?? ???? ? ?? ? ???nniin i ixXn n n? ?nn 22iii 1 i 1v x xn 1 n 1? ?????????三、測(cè)量結(jié)果的置信度 假設(shè)用 對(duì) μ進(jìn)行估計(jì)的誤差為 ，那么 。對(duì)于某一指定的區(qū)間 [－ λ, λ]， 落在該區(qū)間內(nèi)的概率為 。 同樣地，可以求得測(cè)定值子樣平均值 落在區(qū)間 [μ－ λ, μ＋ λ]的概率為 x x?x x? ? ? ?xP ( )?? ? ? ? ?P ( x )? ? ? ? ? ? ? ?x?x? 表示 “ 測(cè)定值子樣平均值這一隨機(jī)變量出現(xiàn)于一個(gè)固定區(qū)間內(nèi) ” 這一事件的概率； ? 表示 “ 在寬度一定作隨機(jī)變動(dòng)的隨機(jī)區(qū)間 內(nèi)包含被測(cè)量真值 ” 這一事件的概率。 P ( x )? ? ? ? ? ? ? ?P ( x x )? ? ? ? ? ? ?? ?,? ? ? ? ? ?x , x??? ? ? ???? 定義區(qū)間 為測(cè)量結(jié)果的 置信區(qū)間 ，也稱為置信限 ? λ為 置信區(qū)間半長(zhǎng) ，也稱為誤差限 ? 概率 為測(cè)量經(jīng)過(guò)在置信區(qū)間 內(nèi)的 置信概率 。 ? 危險(xiǎn)率 ： x , x??? ? ? ???P ( x x )? ? ? ? ? ? ?x , x??? ? ? ???P ( x x ) 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 置信區(qū)間與置信概率共同表明了測(cè)量結(jié)果的 置信度 ，即測(cè)量結(jié)果的可信程度。 ? 對(duì)于同一測(cè)量結(jié)果，置信區(qū)間不同，其置信概率是不同的。 ? 置信區(qū)間越寬，置信概率越大；反之亦然。 ? 一列等精度測(cè)量的結(jié)果可以表達(dá)為在一定的置信概率之下，以測(cè)定值子樣平均值為中心，以置信區(qū)間半長(zhǎng)為誤差限的量 測(cè)量結(jié)果＝子樣平均值 177。 置信區(qū)間半長(zhǎng)（置信概率 P＝？） 例題 1： 在等精度測(cè)量條件下對(duì)某透平機(jī)械的轉(zhuǎn)速進(jìn)行了 20次測(cè)量，獲得如下的一列測(cè)定值（單位： r/min） 試求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速（設(shè)測(cè)量結(jié)果的置信概率 P＝ 95％）。 7 5 2?x???? nx ??%95 ?????? ?zP4 7 5 2 . 0 0 . 9 ( r / m in ) ( P 9 5 % )? ? ?速度? 在實(shí)際測(cè)量工作中，并非任何場(chǎng)合下都能對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量，而多為單次測(cè)量。如果知道了在某種測(cè)量條件下測(cè)量的精密度參數(shù)，而且在同樣的測(cè)量條件下取得單次測(cè)量的測(cè)定值，那么 單次測(cè)量情況下測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式 為： 測(cè)量結(jié)果＝單次測(cè)定值 177。 置信區(qū)間半長(zhǎng) （置信概率 P＝？） 例題 2：