【正文】 92 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 ? 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性。 ? 卡爾曼在 60年代初首先提出狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性。其后的發(fā)展表明 ,這兩個(gè)概念對(duì)回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問(wèn)題 ,對(duì)于控制和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的研究 ,有著極其重要的意義。 ? 系統(tǒng)可控性指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性。 狀 態(tài) n 維 x ( t ) r 維 u ( t ) m 維 y ( t ) 能控 ? 能控 ? ? 可觀測(cè)性反映由能直接測(cè)量的輸入輸出的量測(cè)值來(lái)確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。 狀 態(tài) x ( t ) u ( t ) y ( t ) 能觀測(cè) ? ? 為什么經(jīng)典控制理論沒(méi)有涉及到可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題 ? ? 這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是 SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問(wèn)題 ,它的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。 ? 因此 ,給定輸入 ,則一定會(huì)存在唯一的輸出與之對(duì)應(yīng)。 ? 反之 ,對(duì)期望輸出信號(hào) ,總可找到相應(yīng)的輸入信號(hào)(即控制量 )使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制 ,不存在能否控制的問(wèn)題。 ? 此外 ,輸出一般是可直接測(cè)量 ,不然 ,則應(yīng)能間接測(cè)量。 ? 否則 ,就無(wú)從進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。 ? 因此 ,在這里不存在輸出能否測(cè)量 (觀測(cè) )的問(wèn)題。 ? 所以 ,無(wú)論是從理論還是實(shí)踐 ,經(jīng)典控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測(cè)的問(wèn)題。 ? 現(xiàn)代控制理論中著眼于對(duì)表征 MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。 ? 狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高 ,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問(wèn)題。 ? 此外 ,狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量 ,有時(shí)并不能直接測(cè)量或間接測(cè)量 ,故存在能否利用可測(cè)量或觀測(cè)的輸入輸出的信息來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問(wèn)題。 一、 線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性 ? 本節(jié)首先從物理直觀性來(lái)討論狀態(tài)可控的基本含義 ,然后再引出狀態(tài)可控性的定義。 ? 下面將看到 ,這種從直觀到抽象的討論 ,對(duì)于理解可控性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。 1. 可控性的直觀討論 ? 狀態(tài)可控性反映輸入 u(t)對(duì)狀態(tài) x(t)的控制能力。 ? 如果狀態(tài)變量 x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入 (控制項(xiàng) )來(lái)影響 ,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn) ,那么稱系統(tǒng)是可控的 , ? 或者更確切地說(shuō) ,是狀態(tài)可控的。 ? 否則 ,就稱系統(tǒng)為不完全可控的。 ? 下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明可控性的意義 。 ? 該電橋系統(tǒng)中 ,電源電壓 u(t)為輸入變量 ,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)。 ? 試分析電源電壓 u(t)對(duì)兩個(gè)狀態(tài)變量的控制能力。 ?例 某電橋系統(tǒng)的模型如圖 1所示 。 u R + + + C 1 C 2 x 1 x 2 R R R 圖 1 電橋系統(tǒng) ?由電路理論知識(shí)可知 , ? 若圖 1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的 ,電容 C2的電壓 x2(t)是不能通過(guò)輸入電壓 u(t)改變的 ,即狀態(tài)變量x2(t)是不可控的 ,則 系統(tǒng)是不完全可控的。 u R + + + C 1 C 2 x 1 x 2 R R R 若圖 1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的 , 兩電容的電壓 x1(t)和 x2(t)可以 通過(guò)輸入電壓 u(t)控制 ,則 系統(tǒng)是可控的。 ? 由狀態(tài)空間模型來(lái)看 , ? 當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和 x2(t)時(shí) ,可得如下狀態(tài)方程 : 2221111111xRCxuRCxRCx??????? u R + + + C 1 C 2 x 1 x 2 R R R 由上述狀態(tài)方程可知 ,狀態(tài)變量 x2(t)的值 ,即電橋中電容 C2的電壓 ,是自由衰減的 ,并不受輸入 u的控制。因此 ,該電壓的值不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減至零 ,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不可控的。 1 Q 1 O h 1 h 2 Q 2 Q O Q O 2 ?例 某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖 2所示 ,其截面積均為 A,它們通過(guò)閥門 O均勻地輸入等量液體 ,即其流量 QO相同。 圖 2 并聯(lián)雙水槽系統(tǒng) 1 Q 1 O h 1 h2 Q 2 Q O QO 2 ? 當(dāng)閥門 1和 2的開度不變時(shí) ,設(shè)它們?cè)谄胶夤ぷ鼽c(diǎn)鄰域閥門阻力相等并可視為常數(shù) ,記為 R。 ? 圖中 h1(t)和 h2(t)分別為水槽液面高度 ,Q1(t)和 Q2(t)分別為流量。 ? 該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)可控性可分析如下 : ? 對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng) ,假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。 ? 下面僅考慮流量 QO的變化量 ?QO所引起的水槽水位的變化。 ?????????????????????22221111/dd/ddQRhthAQRhthAOO? 由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力 (水面高度 )的關(guān)系 ,有 1 Q 1 O h 1 h2 Q 2 Q O QO 2 其中 ?代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。選上述方程中變化量 ?h1和 ?h2為狀態(tài)變量 ,將狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量 ?Q1和 ?Q2消去 ,則有 ?????????????ooQAxARxQAxARx11112211???????????????ooQAxARxQAxARx11112211??? 解上述狀態(tài)方程 ,可得 ????d)(1)0()(d)(1)0()(0/τ)(2/20/τ)(1/1otARtARtotARtARtQeAxetxQeAxetx????????????? ?)0()0()()( 21/21 xxetxtx ARt ??? ?? 由上述解可知 ,當(dāng)初始狀態(tài) x1(0)和 x2(0)不等時(shí) ,則 x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同 ,即在有限時(shí)間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。 ? 因此 ,對(duì)該系統(tǒng) ,無(wú)論如何控制流入的流量 ?QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量 ?h1(t)和 ?h2(t)在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)為零 ,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。 ? 上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說(shuō)明了可控性的基本含義 ,可控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說(shuō)明。 ? ?)0()0()()( 21/21 xxetxtx ARt ??? ?????????uxxxxx212112??? 例 : 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為 ? 本例中 ,狀態(tài)變量 x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài) x1(0)的影響 ,與輸入無(wú)關(guān) , ? 即輸入 u(t)不可控制 x1(t)的運(yùn)動(dòng) ,而且 x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。 ? 因此 ,狀態(tài) x1(t)不可控 ,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。 1/s 1 2 ?? ?2x1x 1/s yu??????????uxxxuxxx21221122??? 由該狀態(tài)方程可知 ,狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)都可由輸入 u單獨(dú)控制 , ? 可以說(shuō) ,x1(t)和 x1(t)都是單獨(dú)可控的。 ? 對(duì)該狀態(tài)方程求解后可得 x1(t)x2(t)=e3t[x1(0)x2(0)] 即狀態(tài) x1(t)和 x1(t)總是相差一個(gè)固定的 ,不受 u(t)控制的函數(shù)值。 ? 例 : 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ? 因此 ,x1(t)和 x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài) ,只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。 ? 所以 ,雖然狀態(tài) x1(t)和 x2(t)都是單獨(dú)可控的 ,但整個(gè)系統(tǒng)并不可控。 ? 前面 4個(gè)例子 ,可通過(guò)直觀分析來(lái)討論系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 ,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng) ,直觀判斷可控性是困難的。 ? 下面將通過(guò)給出狀態(tài)可控性的嚴(yán)格定義 ,來(lái)導(dǎo)出判定系統(tǒng)可控性的充要條件。 2. 狀態(tài)可控性的定義 ? 由狀態(tài)方程 及狀態(tài)方程求解公式可知 , ? 狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時(shí)刻之后的輸入 ,與輸出 y(t)無(wú)關(guān)。 ? 因此研究討論狀態(tài)可控性問(wèn)題 ,即輸入 u(t)對(duì) 狀態(tài) x(t)能否控制 的問(wèn)題 ,只需考慮系統(tǒng)在輸入 u(t)的 作用和狀態(tài)方程的性質(zhì) ,與輸出 y(t)和輸出方程 無(wú)關(guān)。 ? 對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng) ,我們有如下狀態(tài)可控性定義。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t??? 定義 1 若線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng) ? 對(duì)初始時(shí)刻 t0(t0?T,T為時(shí)間定義域 )和初始狀態(tài) x(t0), ? 存在另一有限時(shí)刻 t1(t1t0,t1?T), ? 可以找到一個(gè)控制量 u(t), ? 能在有限時(shí)間 [t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)狀 x 2 x 1 0 x( t 0 ) x( t 0 ) x( t 0 ) 態(tài)從初始狀態(tài) x(t0)控制到原點(diǎn) ,即 x(t1)=0, 則稱 t0時(shí)刻的狀態(tài) x(t0)可控 。 ? 若對(duì) t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控 ,則稱系統(tǒng)在 t0時(shí)刻狀態(tài)完全可控 。簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)可控。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t??? 對(duì)上述狀態(tài)可控性的定義有如下討論 : 1. 控制時(shí)間 [t0,t1]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時(shí)間。 ? 對(duì)時(shí)變系統(tǒng) ,控制時(shí)間的長(zhǎng)短 ,即 t1t0的值 ,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。 ? 對(duì)于定常系統(tǒng) ,該控制時(shí)間與 t0無(wú)關(guān)。 所以 ,對(duì)于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性 ,可不必在定義中強(qiáng)調(diào)“ 在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可控 ” ,而為“ 某一時(shí)刻狀態(tài)完全可控 ,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控 ”。 2. 在上述定義中 ,對(duì)輸入 u(t)沒(méi)有加任何約束 ,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。 ? 如果矩陣 A(t)和 B(t)以及向量 u(t)的每個(gè)元素都是 t的分段連續(xù)函數(shù) ,則狀態(tài)方程存在唯一解。 ? u(t)為分段連續(xù)的條件 ,在工程上是很容易滿足的。 3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B) 狀態(tài)可控性判據(jù)有許多不同形式 ,包括 ? 格拉姆矩陣判據(jù) ? 秩判據(jù) ? 模態(tài)判據(jù) ( ) ( ) ( )x t A x t B u t??（ 1）格拉姆矩陣判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B)狀態(tài)完全可控的充要條件為 :存在t1(t10),使得如下可控格拉姆 (Gram)矩陣為非奇異的 11 0( 0 , ) dTt A t T A tW t e B B e t??? ?（ 2）秩判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B)狀態(tài)完全可控的充要條件為 : 定義如下的可控性矩陣 Qc=[B AB … An1B] 滿秩 , rankQc=rank[B AB … An1B]=n ? 證明如下 : ? 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ,由可控性定義可知 ,其狀態(tài)可控性與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)。 ? 因此 ,不失一般性 ,可設(shè)初始時(shí)刻 t0為 0。 ? 根據(jù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式 ,有 ? 證明 在證明可控性判據(jù)之前 ,下面首先證明線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全可控等價(jià)于下述方程對(duì)任意的初始狀態(tài) x(0)有控制輸入 u(t)的解。 ? ??? 10 d)()0( t A B ??? uex? ??? 1 11 0 )(1 d)()0()( t tAAt Bt ??? uexex? 由可控性的定義有 ,若可控 ,則應(yīng)存在 t1(t10)和分段連續(xù)的 u(t),使得 x(t1)=0,即 ? ??? 1 11 0 )( d)()0(0 t tAAt B ??? uexe即 10(0 )