【正文】 1 第六章 條件異方差模型 EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型 。 本章討論的重要工具具有與以往不同的目的 ——建立變量的條件方差或變量波動性模型 。 我們想要建模并預(yù)測其變動性通常有如下幾個原因 : 首先 ， 我們可能要分析持有某項資產(chǎn)的風(fēng)險；其次 ， 預(yù)測置信區(qū)間可能是時變性的 ， 所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三 ， 如果誤差的異方差是能適當(dāng)控制的 ， 我們就能得到更有效的估計 。 2 167。 自回歸條件異方差模型 自 回 歸 條 件 異 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預(yù)測的 。 ARCH模型是 1982年由恩格爾 (Engle, R.)提出 ， 并由博勒斯萊文 (Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為 GARCH (Generalized ARCH)——廣義自回歸條件異方差 。 這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)的各個領(lǐng)域 。 尤其在金融時間序列分析中 。 按照通常的想法 ， 自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有 ，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點 。 但在時間序列數(shù)據(jù)中 ， 會不會出現(xiàn)異方差呢 ？ 會是怎樣出現(xiàn)的 ？ 3 恩格爾和克拉格（ Kraft, D., 1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。 4 從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時期的不同而有相當(dāng)大的變化。預(yù)測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。 為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。 ARCH的主要思想是時刻 t 的 ut 的方差 (= ?t2 )依賴于時刻 (t ?1)的擾動項平方的大小，即依賴于 t2 1 。 5 ARCH模型 為了說得更具體，讓我們回到 k 變量回歸模型： () 如果 ut 的均值為零 ， 對 yt 取基于 (t1)時刻的信息的期望 ， 即Et1(yt)， 有如下的關(guān)系： () 由于 yt 的均值近似等于式 （ ） 的估計值 ， 所以式（ ） 也稱為 均值方程 。 ttkktt uxxy ????? ??? ??110ktktttt xxxy ???? ?????? ?221101 )(E6 在這個模型中，變量 yt 的條件方差為 （ ） 其中： var(yt ?Yt1)表示基于 (t1) 時刻的信息集合 Yt1 = {yt1, yt2, …, y1}的 yt 的條件方差， 假設(shè)在時刻 ( t ?1 ) 所有信息已知的條件下，擾動項 ut 的條件分布是： ~ () 也就是 ， ut 遵循以 0為均值 ， (?0+?1u2t1 )為方差的正態(tài)分布 。 tu ? ?)(,0 2 110 ?? tuN ??21211011 E)(E)Yv a r ( tttkkttttt uxxyy ??? ?????? ??? ?7 由于 ()中 ut 的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為 ARCH(1)過程： 通常用極大似然估計得到參數(shù) ?0, ?1, ?2, ?? , ?k, ?0, ?1的有效估計 。 容易加以推廣 ， ARCH (p)過程可以寫為： () 這時方差方程中的 (p+1)個參數(shù) ?0, ?1, ?2, ?? , ?p也要和回歸模型中的參數(shù) ?0, ?1, ?2, ?? , ?k一樣，利用極大似然估計法進行估計。 2 1102)v a r ( ???? ttt uu ???22 222 1102)v a r ( ptptttt uuuu ??? ?????? ????? ??8 如果擾動項方差中沒有自相關(guān) ， 就會有 H0 ： 這時 從而得到擾動項方差的同方差性情形 。 恩格爾曾表明 ， 容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)： 其中， t 表示從原始回歸模型（ ）估計得到的 OLS殘差。 22 222 1102 ???????? ptpttt uuuu ??? ????? ???? ??021 ???? p??? ?02)v a r ( ?? ??tu9 在 ARCH(p) 過程中 ， 由于 ut 是隨機的 ， ut2 不可能為負 ， 所以對于 {ut} 的所有實現(xiàn)值 ， 只有是正的 ， 才是合理的 。 為使 ut2 協(xié)方差平穩(wěn) ， 所以進一步要求相應(yīng)的特征方程 （ ） 的根全部位于單位圓外。如果 ?i（ i = 1, 2, … , p） 都非負，式（ ）等價于 ?1 + ?2 + … + ?p ? 1。 01 221 ????? pp zzz ??? ?10 ARCH的檢驗 下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有 ARCH效應(yīng)的兩種方法： ARCH LM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗 。 1. ARCH LM檢驗 Engle在 1982年提出檢驗殘差序列中是否存在 ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗（ Lagrange multiplier test），即 ARCH LM檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。 ARCH本身不能使標(biāo)準(zhǔn)的 OLS估計無效，但是，忽略 ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。 11 ARCH LM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗 原假設(shè)：殘差中直到 q階都沒有 ARCH， 運行如下回歸： 式中 t 是殘差 。 這是一個對常數(shù)和直到 q 階的滯后平方殘差所作的回歸 。 這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量： （ 1） F 統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗； （ 2） T?R2 統(tǒng)計量是 Engle’s LM檢驗統(tǒng)計量 ， 它是觀測值個數(shù) T 乘以回歸檢驗的 R2 ； tqtqtt uuu ???? ????? ?? 22 1102 ??? ?12 普通回歸方程的 ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。 BreuschPaganGodfrey Harvey Glejser ARCH White Custom Test Wizard… 圖 普通方程的 ARCH檢驗列表 13 2. 殘差平方相關(guān)圖 顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方 t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù) ， 計算出相應(yīng)滯后階數(shù)的 LjungBox統(tǒng)計量 。 殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ ARCH） 。 如果殘差中不存在 ARCH， 在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)應(yīng)為 0， 且 Q統(tǒng)計量應(yīng)不顯著 。 可適用于 LS，TSLS， 非線性 LS方程 。 在圖 Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals項 ， 它是對方程進行殘差平方相關(guān)圖的檢驗 。 單擊該命令 ， 會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對話框 ， 默認的設(shè)定為 36，單擊 OK按鈕 ， 得到檢驗結(jié)果 。 14 例 滬市股票價格指數(shù)波動的 ARCH檢驗 為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性 ， 本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列 ， 這是因為上海股票市場不僅開市早 ，市值高 ， 對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感 ， 因此 ， 本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性 。 在這個例子中 ， 我們選擇的樣本序列 {sp}是 1996年 1月 1日至2022年 12月 31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù) ， 為了減少舍入誤差 ， 在估計時 ， 對 {sp}進行自然對數(shù)處理 ， 即將序列 {ln(sp)}作為因變量進行估計 。 15 由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程 ——隨機游動 （ Random Walk） 模型描述 ， 所以本例進行估計的基本形式為： () 首先利用最小二乘法 ， 估計了一個普通的回歸方程 ， 結(jié)果如下： () () (951) R2= ttt uspsp ???? ? )ln ()ln ( 1??)ln (9 9 7 1 7 )?ln ( 1???? tt spps16 可以看出 ， 這個方程的統(tǒng)計量很顯著 ， 而且 ， 擬合 的程度也很好 。 但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性 ， 。 17 圖 股票價格指數(shù)方程回歸殘差 觀察上圖 ， 該回歸方程的殘差 ， 我們可以注意到波動的 “ 成群 ” 現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常小 ， 在其他一些較長的時間內(nèi)非常大 ， 這說明殘差序列存在高階 ARCH效應(yīng) 。 18 因此，對式 ()進行條件異方差的 ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù) p = 3時的 ARCH LM檢驗結(jié)果如下。此處的 P值為 0，拒絕原假設(shè)，說明式（ ）的殘差序列存在 ARCH效應(yīng)。 可以計算式（ ）的殘差平方 t2的自相關(guān)（ AC）和偏自相關(guān)（ PAC）系數(shù)，結(jié)果說明式（ ）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。 19 例 中國 CPI模型的 ARCH檢驗 本例建立 CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去 100，記為 cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量 M1的增長率，記為 m1rt； 3年期貸款利率，記為 Rt，樣本期間是 1994年 1月～ 2022年 12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用 X12季節(jié)調(diào)整方法對 cpit 和 m1rt 進行了調(diào)整，結(jié)果如下： t = () () () () R2= 對數(shù)似然值 = AIC = SC = tttttt uRrmc p ic p ic p i 2121 ?????? ????20 這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。 21 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階 ARCH效應(yīng)。再進行條件異方差的 ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù) p = 1時的 ARCH LM檢驗結(jié)果：