【正文】 第一章 信號的分類與描述 11 求周期方 波 （見圖 14）的傅里葉級數(shù)（復(fù)指數(shù)函數(shù)形式），劃出 ||– ω和 φn– ω圖，并與表 11對比。 解答：在一個(gè)周期的表達(dá)式為 00 ( 0 )2() ( 0 )2TAtxt TAt?? ? ? ???? ?? ???? 積分區(qū)間取（ T/2， T/2） 000 0 000022020 0 021 1 1( ) d = d + d = ( c o s 1 ) ( = 0 , 1 , 2 , 3 , )TTj n t j n t j n tTTnc x t e t A e t A e tT T TAj n nn? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ? 所以復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為 001( ) ( 1 c os )jn t jn tnnnAx t c e j n en??? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ??， = 0 , 1 , 2 , 3 , n ? ? ?。 ( 1 c os ) ( = 0, 1, 2, 3, )0nInRAnnc? ? ? ??? ? ??????? 22 2 1 , 3 , ,( 1 c o s )0 0 , 2 , 4 , 6 , n n R n IA n Ac c c n nn n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? 1 , 3 , 5 ,2a r c ta n 1 , 3 , 5 ,20 0 , 2 , 4 , 6 ,nInnRπ nc πφ ncn? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ???? 沒有偶次諧波。 其頻譜圖如下圖所示。 圖 14 周期方波信號波形圖 0 t x(t) T02 ?T02 0T? … … A A T0 12 求正弦信號 0( ) sinx t x ωt? 的絕對均值xμ和均方根值 rmsx 。 解答： 0 0 0 02 20 00 0 02 2 4 211 ( ) d s in d s in d c o sT TTTx x x x xμ x t t x ω tt ω tt ω tT T T T ω T ω π? ? ? ? ? ? ?? ? ? 22 2 2 00r m s 00 0 01 1 1 c o s 2( ) d sin d d2 2T T Txx ω tx x t t x ω t t tT T T ?? ? ? ?? ? ? 13 求指數(shù)函數(shù) ( ) ( 0 , 0 )atx t A e a t?? ? ?的頻譜。 解 答 ： ( 2 )220 220 ( 2 )( ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2 )a j f tj f t a t j f t e A A a j fX f x t e d t A e e d t Aa j f a j f a f???? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?? ? ? 22() ( 2 )kXf af?? ? I m ( ) 2( ) a r c ta n a r c ta nR e ( )X f ff X f a? ? ? ?? 14 求符號函數(shù) (見圖 125a)和單位階躍函數(shù) (見圖 125b)的頻譜。 || φn π/2 π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅頻圖 相頻圖 周期方波復(fù)指數(shù)函數(shù)形式頻譜圖 2A/5π 2A/3π 2A/π ω0 3ω0 5ω0 ω0 3ω0 5ω0 單邊指數(shù)衰減信號 頻譜圖 f |X(f)| A/a 0 φ(f) f 0 π/2 π/2 a)符號函數(shù)的頻譜 10( ) sg n ( ) tx t tt????????? t=0 處可不予定義，或規(guī)定 sgn(0)=0。 該信號不滿足絕對可積條件，不能直接求解，但 傅里葉 變換存在。 可以借助于雙邊指數(shù)衰減信號與符號函數(shù)相乘，這樣便滿足 傅里葉 變換的條件。先求此乘積信號 x1(t)的頻譜，然后取極限得出符號函數(shù) x(t)的頻譜。 1 0( ) s g n ( ) 0atatatetx t e t et?? ? ??? ? ??? 10( ) sgn ( ) lim ( )ax t t x t??? 02 2 211 2204( ) ( ) ( 2 )j f t a t j f t a t j f t fX f x t e d t e e d t e e d t j af??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 10 1( ) s g n ( ) l im ( )aX f t X f j f?? ? ? ? ?F 1()Xf f?? 02()02fff?? ?? ???? ?????? t sgn(t) 0 1 1 t u(t) 0 1 圖 125 題 14 圖 a)符號函數(shù) b)階躍函數(shù) b)階躍函數(shù)頻譜 10() 00tut t ???? ?? 在跳變點(diǎn) t=0 處函數(shù)值未定義，或規(guī)定 u(0)=1/2。 階躍信號不滿足絕對可積條件，但卻存在 傅里葉 變換。由于不滿足絕對可積條件，不能直接求其 傅里葉 變換，可采用如下方法求解。 解法 1：利用 符號函數(shù) 11( ) sg n( )22u t t?? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) s g n ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2U f u t t f j f jff? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ? ? ??? ??F F F ? ?2 211( ) ( )2U f f f? ??? 結(jié)果表明，單位階躍信號 u(t)的頻譜在 f=0 處存在一個(gè)沖激分量，這是因?yàn)?u(t)含有直流分量，在預(yù)料之中。同時(shí)，由于 u(t)不是純直流信號，在 t=0 處有跳變，因此在頻譜中還包含其它頻率分量。 解法 2：利用沖激函數(shù) 10( ) ( )d 00t tut t? ? ??????? ? ???時(shí)時(shí) 根據(jù) 傅 里葉 變換的積分特性 1 1 1 1( ) ( ) d ( ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 2tU f f f f jj f f? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ? ??????? ???F 單位階躍信號頻譜 f |U(f)| 0 (1/2) f φ(f) 0 π/2 π/2 1 ( ) sgn ( )atx t e t?? 符號函數(shù) t x1(t) 0 1 1 符號函數(shù)頻譜 f φ(f) 0 π/2 0 f |X(f)| π/2 15 求被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù) 0cosωt (見圖 126)的傅里葉變換。 0c o s()0ω t t TxttT???? ???? 解： 0( ) ( ) c o s(2 )x t w t f t? ? w(t)為矩形脈沖信號 ( ) 2 s in c ( 2 )W f T Tf? ? ? ?00220 1c o s( 2 ) 2 j f t j f tf t e e??? ??? 所以002211( ) ( ) ( )22j f t j f tx t w t e w t e ????? 根據(jù)頻移特性和疊加性得： 000011( ) ( ) ( )22s in c [ 2 ( ) ] s in c [ 2 ( ) ]X f W f f W f fT T f f T T f f? ? ? ?? ? ? ??? 可見 被截?cái)嘤嘞液瘮?shù) 的頻譜等于將矩形 脈沖 的頻譜一分為二，各向左右移動 f0，同時(shí)譜線高度減小一半。 也說明，單一頻率的簡諧信號由于截?cái)鄬?dǎo)致頻譜變得無限寬。 16 求指數(shù)衰減 振蕩 信號 0( ) sinatx t e ω t?? 的頻譜 解 答 ： 指數(shù)衰減 振蕩 信號 x(t) f X(f) T f0 f0 被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù)頻譜 圖 126 被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù) t t T T T T x(t) w(t) 1 0 0 1 1 ? ?000 1s in ( ) 2 j t j tt e ej ?????? 所以 ? ?001() 2 j t j tatx t e e ej ?????? 單邊指數(shù)衰減信號 1 ( ) ( 0 , 0)atx t e a t?? ? ?的 頻譜密度函數(shù) 為 11 220 1( ) ( ) j t a t j t ajX f x t e d t e e d t a j a??? ? ??? ?? ? ? ????? ?? ??? 根據(jù)頻移特性和疊加性得： ? ? 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( )[ ( ) ] 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]a j a jX X Xj j a aaa ja a a a??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 17 設(shè)有一時(shí)間函數(shù) f(t)及其頻譜如圖 127 所示?，F(xiàn)乘以余弦型振蕩 00cos ( )mω t ω ω? 。在這個(gè)關(guān)系中，函數(shù) f(t)叫做調(diào)制 信號，余弦振蕩 0cosωt 叫做載波。試求 調(diào)幅信號 0( )cosft ωt 的傅里葉變換，示意畫出 調(diào)幅信號及其頻譜。又問：若 0 mω ω? 時(shí)將會出現(xiàn)什么情況？ 圖 127 題 17 圖 ω F(ω) 0 f(t) 0 t ωm ωm 0 0 X(ω) π π φ(ω) ω ω 指數(shù)衰減信號的頻譜圖 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t? ? ( ) [ ( )]F f t?? F ? ?000 1c os( ) 2 j t j tt e e ?????? 所以0011( ) ( ) ( )22j t j tx t f t e f t e ????? 根據(jù)頻移特性和疊加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F? ? ? ?? ? ? ? 可見調(diào)幅信號的頻譜等于將 調(diào)制信號 的頻譜一分為二，各向左右移動載頻 ω0，同時(shí)譜線高度減小一半。 若 0 mω ω? 將發(fā)生混疊。 18 求正弦信號 0( ) sin( )x t x ωt φ??的均值 xμ 、均方值 2xψ 和概率密度函數(shù) p(x)。 解答