【正文】 《機械工程測試技術》 習題與題解 第二章 習題解答 21．什么是信號？信號處理的目的是什么？ 22．信號分類的方法有哪些？ 23．求正弦信號 ? ? tAtx ?sin? 的均方值 2x? 。 解： ? ?24s i n4222c o s12s i n2s i n11222022022022022ATTATdttATt d tATdttATdttxTTTTTx??????? ????????????????? 也可先求概率密度函數(shù)：221)( xAtp ?? ? 則： ? ??? ?? 2)( 222 Adxxpxx? 。 24．求正弦信號 ? ? )sin ( ?? ?? tAtx 的概率密度函數(shù) p(x)。 解： 2221)(111,a rc s i nxAAxAdxdtAxt?????? ???? 代入概率密度函數(shù)公式得： 22222200122221l i m1l i m)(xAxAxATTdtdxTtxxpxx???????????????? ??? ?????????? 25．求如下圖所示周期性方波的復指數(shù)形式的幅值譜和相位譜 t x T1 T1 T T 解 在 x(t)的一個周期中可表示為 ??? ?? ?? 201)(11TtT Tttx 該信號基本周期為 T，基頻 ?0=2?/T，對信號進行傅里葉復指數(shù)展開。由于 x(t)關于 t=0 對稱，我們可以方便地選取 T/2≤ t≤ T/2 作為計算區(qū)間。計算各傅里葉序列系數(shù) 當 n=0 時，常值分量 c0： TTdtTac TT 100 21 1 1 ??? ?? 當 n?0 時， 110110011 TTtjnTT tjnn eTjndteTc ??? ? ??? ? ?? ? 最后可得 ?????? ?? ?jeeTnc tjntjnn 22 000 ??? 注意上式中的括號中的項即 sin (n?0 T1)的歐拉公式展開，因此，傅里葉序列系數(shù) 可表示為 0)(s i n2)s i n(2 100 10 ??? nTncTTn Tnc n ，??? ? 其幅值譜為： )(s in211 TncTTc on ??，相位譜為： ??? ?? ,0n 。頻譜圖如下： 26．設 為周期信號 x(t)的傅里葉級數(shù)序列系數(shù)，證明傅里葉級數(shù)的nCTT/211/T? ?00?nCTT/211/T? ?0 0?n?????0時移特 性 。 即：若有 ? ? nFS ctx ? ?? 則 ? ? ntjFS cettx 000 ??? ??? 證明：若 x(t)發(fā)生時移 t0（周期 T 保持不變），即信號 x(t t0)，則其對應的傅立葉系數(shù)為 ? ?? ?? T tjn dtetxTc 0139。 ? 令 0tt??? ，代入上式可得 ? ?? ?ntjTjtjTtjncedexTedexTc000000011 )(39。???????????????????? 因此有 ? ? ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 ?? ?? ?? ??? 同理可證 ? ? ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 ?? ?? ?? ??? 證畢！ 27．求周期性方 波的（題圖 25）的幅值譜密度 解：周期矩形脈沖信號的傅里葉系數(shù) )(s i n21 1011 0 TncTTdteTC T T tjnn ?? ?? ? ? ? 則根據(jù)式，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換，有 )()(s i n22)( 0101 ?????? nTncTTX n ?? ????? 此式表明，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換是一個離散脈沖序列，集中于基頻 0? 以及所有諧頻處，其脈沖強度為 01/4 TT? 被 )(sin tc 的函數(shù)所加權(quán)。與傅里葉級數(shù)展開得到的幅值譜之區(qū)別在于，各諧頻點不是有限 值，而是無窮大的脈沖，這正表明了傅里葉變換所得到的是幅值譜密度。 28．求符號函數(shù)的頻譜。 解：符號函數(shù)為 ??????????000101)(ttttx 可將符號函數(shù)看為下列指數(shù)函數(shù)當 a?0 時的極限情況 解 ??? ????? 00)s g n()( te tettxatat ? ? ? ?fjfjfjafjadteedteedtetxfXaftjatftjataftj???????12121l i m..l i m00 20202??????????????????? ???????? ???????? ??? 29．求單位階躍函數(shù)的頻譜： 解：單位階躍函數(shù)可分解為常數(shù) 1 與符號函數(shù)的疊加，即 ?????????0002/101)(tttt ? ?)sgn(121)( tt ??? 所以： 210．求指數(shù)衰減振蕩信號 ? ? tetx at 0sin ??? 的頻譜。 解： )(2s i ns i n21s i n21)(0000)(000tjtjtjatjateejttdedteteX???????????????????????? ? ?202000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)( 00??????????? ????????????????????? ????????jajjajjajdteejX tjjatjja 211．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的頻移特性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT? ?? 則 ? ? ? ?02 0 ffXetx FTtfj ??? ??? ? 證明：因為 )(][ 02 0 ffeF tfi ??? ?? 又因為 ? ? ? ? ][* 00 202 tfiFTtfj eFfXetx ?? ?? ?? ?? ?????? ?? fjff ??? 1)(21)( ? ? ? ? ? ?0002 )(*0 ffXfffXetx FTtfj ?? ??? ??? ?? 證畢！ 212．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的共軛和共軛對稱特性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT?? ?? 則 ? ? ? ?fXtx FT ?? ?? ** 式中 x*(t)為 x(t)的共軛。 證明： ? ? ? ????? dfefXtx ftj ?2)( 由于 ? ????????????????????dtetxdtetxfXftjftj??2**2*)()( 上式兩端用 f 替代 f 得 ? ? ? ???? ??? dtetxfX ftj ?2** )( 上式右端即為 x*(t)的傅里葉變換，證畢！ 特別地，當 x(t)為實信號時，代入 x*(t)= x(t)，可得 X(f)共軛對稱，即 ? ? ? ?fXfX *?? 213．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT? ?? 則 ? ? ? ?fxtX FT ?? ?? 證明： 由于 ? ????? dfefXtx ftj ?2)()( 以 t 替換 t 得 ? ? ? ???? ??? dfefXtx ftj ?2)( 上式 t 與 f 互換即可得 ? ? ? ???? ??? dtetXfx ftj ?2)( 即 ? ? ? ?fxtX ?? 證畢。 特殊情況 ,當 ??xt 為偶函數(shù)時 ， ? ? ? ?fxtX FT? ?? 214．用傅里葉變換的互易特性求信號 g(t)的傅里葉變換 G(f)， g(t)定義如下： ? ? 21 2ttg ?? 且已知 ? ? 22 22)()( fa afXetx FTta ???? ??? ? 解：當 a=2?，不難看出 g(t)與 X(f)非常相似。代入 a=2?，根據(jù)傅里葉變逆換有 ? ? ? ? ?? ????????? ????? dfefdfefe ftjftjt ??? ??? ? 222222 1 22 122 22 等式兩端同時乘以 2?，并用 t替代變量 t得 ? ???? ?? ?? dtefe ftjt ??? 222 1 22 交換變量 t和 f得 ? ???? ?? ?? dtete ftjf ??? 222 1 22 上式正是 g(t)的傅立葉變換式，所以 fFT efGttg ?? 22 2)(1 2)( ??? ???? 215．所示信號的頻譜 )()(21)( 21 ???? txtxtx 式中 x1(t), x2(t)是如圖 231b），圖 231c）所示矩形脈沖。 解：根據(jù)前面例 215求得 x1(t), x2(t)的頻譜分別為 f ffX ??sin)(1 ?和f ffX ? ?3sin)(2 ? 根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和時移性質(zhì)可得： ?????? ?? ? ffefX fj ? ??? 3s i ns i n)( 215 )(tx)(1txttt)(2tx 圖 231 216．求信號 x(t)的傅里葉變換 0)( ?? ? aetx ta 解：由例 216已知 fjatue FTat ?21)( ?? ??? 注意到 x(t)為實偶函數(shù)， t 0 時 )()( tuetx at?? ， t0 時 )()( tuetx at ?? ，所以 )()()( tuetuetx atat ??? ? ，根據(jù)線性疊加特性 ? ? ? ?)()()( tueFtueFfX atat ??? ? 又根據(jù)時間比例特性有 ? ? ? ?fXtx FT ?? ??? ，所以 fjatue FTat ?21)( ?? ??? 最后得 ? ? 22 222121)( fa afjafjafX ??? ?????? 在實際應用中，一般 a 為 ?0 的實數(shù) 則 ? ? ??????? ?? afXaatx FT 1 217．已知信號 x(t)試求信號 x() ， x(2t)的傅里葉變換 ??? ???11,0,1)( Tt Tttx 解：由例可知 x(t)的傅里葉變換為 11 2sin2)( fTcTfX ?? 根據(jù)傅里葉變換的比例特性可得 如圖 232所示 ,由圖可看出，時間尺度展寬 (a)將導致其頻譜頻帶變窄 ,且向低頻端移動 ,這種情況為我們提高設備的頻率分析范圍創(chuàng)造了條件 ,但是以延長分析時間為代價的 。反之 ,時間尺度壓縮 (a)會導致其頻譜頻帶變寬 ,且向高頻端擴展 ,這種情況為我們提高信號分析速度提供了可能。 ? ? ? ?1111 1)( fTcTTfcTtxF ?? ????????? ? ? ?1111 sin22sin221)2( fTcTTfcTtx ?? ????????x ( t / 2 )tT T2T