【正文】 1 /2 T 1/ 2Tfa =0 .5x ( t / 2 )t T/ 2 T /2T1 /T 1/ Tfa =1 .0x ( t / 2 )t T/ 4 T /4T /22 /T 2/ Tfa =2 .0111 題圖 217 時(shí)間尺度展縮特性示意圖 218．求同周期的方波和正弦波的互相關(guān)函數(shù) 解：因方波和正弦波同周期，故可用一個(gè)周期內(nèi)的計(jì)算值表示整個(gè)時(shí)間歷程的計(jì)算值，又根據(jù)互相關(guān)函數(shù)定義，將方波前移τ秒后計(jì)算： ???????????????????????????????????s i n2s i n42123c o s12c o s23c o s12c o s21c o sc o sc o s1s i n1s i n1s i n11)(43434404343440?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????TTTTTTTTTTxytttTt d tt d tt d tTR 219．求信號(hào) )()( tuetx at?? 的自相關(guān)函數(shù)。 解：由定義 ?? ?????????????????????dttutueedttuetuedttxtxRatataatx)()()()()()()(2)(?????? 其 中 積 分 的 被 積 函 數(shù) 的 非 零 區(qū) 間 為 00 ??? ?tt 與 的交集，即),0max( ???t 。因此，當(dāng) 0?? 時(shí)，上式為 atatatatax eaeaedteeR ????? ?? ????? ? 21)21()( 020 2?? 當(dāng) 0?? 時(shí)，則有 ???????? aaaataatax eaeaeeaedteeR 2 1)210()21()( 222 ???????? ??????? ?? ? 1 1 綜合有 ?? ax eaR ?? 21)( 220．下面的信號(hào)是周期的嗎？若是，請(qǐng)指明其周期。 （ 1） tbtatf3c os5s in)( ?? ?? （ 30） （ 2） tbttatf3c os6s in)( ??? （ 12? ） （ 3） )343sin()( ??? tatf （ ?38） （ 4） )54c os ()( ?? ?? tatf （ 8） 221．如圖所示，有 12 ?? nN 個(gè)脈寬為 ? 的單位矩形脈沖等間隔（間隔為 ??T ）地分布在原點(diǎn)兩側(cè)，設(shè)這個(gè)信號(hào)為 )(tx ，求其 FT。 解：由題意， ??? ?? n nm mTtxtx )()( 0 其中 )()(0 tGtx ??，其 FT為 )2(sin)(0 ???? cX ?。根據(jù) FT的時(shí)移特性，可以求得 )2s i n ()2s i n ()()()()()()()(1)()()(02/2/2/2/02/2/2/2/2/2/0)1(00TTNXeeeeXeeeeeeXeeeXeXXTjTjTjNTjNTjTjTjTjNTjNTjTjTnjTjmnnmTjm??????????????????????????????????????????????????????? 下面分析一下所求的 結(jié)果。 當(dāng)Tm?? 2?時(shí)，由羅彼塔法則可以求得 NTTN?)2sin()2sin(??，因此)()( 0 ?? NXX ? ，是單個(gè)矩形脈沖頻譜 )(0?X 的 N倍，這是 N個(gè)矩形脈沖的譜相互疊加的結(jié)果；而當(dāng)NTm?? 2?（ m不是 N的倍數(shù)）時(shí)， 0)2sin()2sin(?TTN??，這是 N個(gè)譜相互抵消的結(jié)果。見圖（ b）。 可以看出，如果 N不斷增大，這些等間隔分布的矩形脈沖的頻譜能量逐漸 向離散點(diǎn)Tm?? 2?處集中，而且幅度也越來(lái)越大。特別地，當(dāng) ??N時(shí)，時(shí)域信號(hào)變成了周期矩形脈沖信號(hào)，而頻域則變成了只在離散點(diǎn)Tm?? 2?處有值的離散譜，在這些點(diǎn)處的頻譜幅度變成了沖激信號(hào)（因?yàn)槟芰口呌跓o(wú)窮大）。這也應(yīng)驗(yàn)了：借助于沖激信號(hào)，周期信號(hào)也存在FT。 222．“時(shí)域相關(guān)性定理”可描述如下 )()()]([ fYfXRF xy ??? 試證明。 下面給出兩種證明方法。 證明 1： )()()())(()()()()()()()()()]([*)(2*22)(2*2*2*fYfXtdetydtetxedttdetytxdtdetytxdedttytxRFtfjfjftjtfjfjfjxy???????? ????????????????? ????????? ???????? ?????????????????????????????????????? ?? ?? ????????????????????? 這里利用式： )()]([ ** fYtyF ?? ，是 FT的“反褶共軛”性質(zhì)。 證明 2： 根據(jù)相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算之間的關(guān)系 )()()( tytxR xy ???? 利用 FT的“反褶共軛”性質(zhì)，可以直接得到結(jié)論。 在式中，令 yx? ，則可得 自相關(guān)的傅里葉變換 2* )()()()]([ fXfXfXRF x ???? 式中說(shuō)明，“函數(shù)相關(guān)的 FT是其幅度譜的平方”，換句話說(shuō)，“函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜的平方是一對(duì)傅里葉變換對(duì)”。 利用 FT的奇偶虛實(shí)性，若 )(ty 是實(shí)偶函數(shù)，那么 )(fY 也是實(shí)偶函數(shù)。這樣我們就得到了一個(gè)特例結(jié)論， )()()()()]([ * fYfXfYfXRF xy ????? 即當(dāng) )(ty 是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，相關(guān)性定理與卷積定理是一致的。 224．帕斯瓦爾定理 ?? ?????? ? dffXdttx 22 )()( 18090???00?(1)1322 3A( )?15432?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?? ? ?? ? n? ? ?? ? n二階系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線 證明： dffXFTdffXfXdfdtetxfXdtdfefXtxI F TdtdfefXtxdttxtxdttfftjftjftj2*2*2**2*2)()()()()()()()()()()()()()()(????????????????????????????????????????????????????????????????????定義交換積分次序定義??? 第三章 習(xí)題及題解 1 試說(shuō)明二階裝置的阻尼比 ζ 多采用 ζ＝（ ~）的原因 答： 二階系統(tǒng)的阻尼比 ζ 多采用 ζ＝（ ~）的原因，可以從兩個(gè)主要方面來(lái)分析，首先，根據(jù)系統(tǒng)不失真?zhèn)鬟f信號(hào)的條件，系統(tǒng)應(yīng)具有平直的幅頻特性和具有負(fù)斜率的線性的相頻特性，右圖所示為二階系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，二階系統(tǒng)不滿足上述條件，但在一定的范圍內(nèi)，近似有以上關(guān)系。 在特性曲線中可以看出，當(dāng)ω﹤ n時(shí)，ζ對(duì)幅頻特性影響較小，φ(ω )－ω曲線接近直線。 A(ω )在該范圍內(nèi)的變化不超過(guò) 10％，可作為不失真的波形輸出。在ω﹥ (～ )ω n范圍內(nèi) φ (ω )接近 180?，且差值甚小，如在實(shí)際測(cè)量或數(shù)據(jù)處理中用減去固定相位差的方法，則可以接近不失真地恢復(fù)被測(cè)輸入信號(hào)波形。若輸入信號(hào)的頻率范圍在上述兩者之間，由于系統(tǒng)的頻率特性受ζ的影響較大，因而需作具體分析。分析表明，當(dāng)ζ＝ ～ 時(shí)，在ω＝ (0～ )ω n 的頻率范圍中，幅頻特性 A(ω )的變化不超過(guò) 5％，此時(shí)的相頻特性曲線也接近于直線，所產(chǎn)生的相位失真很小。 其次其他工作性能綜合考慮，單位階躍信號(hào)輸入二階系統(tǒng)時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出的理論誤差為零。 阻尼比將影響超調(diào)量和振蕩周期。ζ ≥ 1，其階躍輸出將不會(huì) 產(chǎn)生振蕩，但需要經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)輸出。 ζ越大，輸出接近穩(wěn)態(tài)輸出的時(shí)間越長(zhǎng)。ζ﹤ 1 時(shí)，系統(tǒng)的輸出將產(chǎn)生振蕩。ζ越小，超調(diào)量會(huì)越大，也會(huì)因振蕩而使輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)輸出的時(shí)間加長(zhǎng)。顯然，ζ存在一個(gè)比較合理的取值，ζ一般取值為 ～ 。 另外，在斜坡輸入的情況下，ζ俞小，對(duì)斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差2ζ/ωn 也俞小，但隨著ζ的減小，超調(diào)量增大，回調(diào)時(shí)間加長(zhǎng)，當(dāng)ζ＝～ 時(shí) ,有較好的響應(yīng)特性。 綜上所述，從系統(tǒng)不失真?zhèn)鬟f信號(hào)的條件和其他工作性能綜合考慮， 只有ζ＝ ～ 時(shí)，才可以獲得最佳的綜合特 性。 2 試述信號(hào)的幅值譜與系統(tǒng)的幅頻特性之間的區(qū)別 （ 1）對(duì)象不同，前者對(duì)象是信號(hào)；后者的對(duì)象是系統(tǒng)；（ 2）前者反映信號(hào)的組成，后者反映系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)不同頻率成分的幅值的縮放能力（ 3）定義不同：處理方法各異：前者是對(duì)信號(hào)付氏變換的模，后者是輸出的付氏變換與輸入的付氏變換之比的模 3 已知信號(hào) x(t)=5sin10t+5cos(100tπ/4)+4sin(200t+π/6)，通過(guò)傳遞函數(shù)為 100 1)( ?? ssH 的測(cè)試系統(tǒng)，試確定輸出信號(hào)的頻率成分并繪出輸出信號(hào)的幅值譜。 解： 將輸入信號(hào)的各次諧波統(tǒng)一寫成 Xisin(ωit+φxi)的形式 x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6) 信號(hào) x(t)由三個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)疊加而成，其頻率、幅值、相位分別為 頻率 幅值 Xi 相位 φxi ω1=10 A1=5 φx1=0 ω2=100 A2 =5 φx2=π/4 ω3=200 A3=4 φx3=π/6 設(shè)輸出信號(hào)為 y(t)，根據(jù)頻率保持特性， y(t)的頻率成分應(yīng)與 x(t)的頻率成分相同，各頻率成分的幅值和相位可由輸入信號(hào)的幅值和相位與測(cè)試系統(tǒng) 頻率響應(yīng)特性 H(ω)確定，根據(jù)題設(shè)條件，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) 1)( ?? jH ?? 系統(tǒng)的幅頻特性 2)(11)( ?? ??A ??? 0 0 )( a r c tg?? 輸出信號(hào) y(t)的頻率、幅值、初相位分別為 頻率 幅值 Yi= A (ωi) Xi 相位φyi=φ(ωi)+φxi ω1=10 Y1= φy1=－ ω2=100 Y2 = φy2= ω3=200 Y3= φy3=－ 繪出 y(t)的幅值譜如右圖。 4 ω 在對(duì)某壓力傳感器進(jìn)行校準(zhǔn)時(shí)，得到一組輸入輸出的數(shù)據(jù)如下： 正行程平均值 1264.5 2020.4 反行程平均值 1266.1 2020.6 試計(jì)算該壓力傳感器的最小二乘線性度和靈敏度。 解 由校準(zhǔn)數(shù)據(jù)得知，該壓力傳感器近似線性特性，遲滯誤差較小，可用平均校準(zhǔn)曲線來(lái)計(jì)算 根據(jù) 3－ 14 式 數(shù)據(jù)序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑ ix iy 220.75 481.55 763.3 993.10 1265.30 1533