【正文】 在實際應用中，一般 a 為 ?0 的實數(shù) 則 ? ? ??????? ?? afXaatx FT 1 217．已知信號 x(t)試求信號 x() ， x(2t)的傅里葉變換 ??? ???11,0,1)( Tt Tttx 解：由例可知 x(t)的傅里葉變換為 11 2sin2)( fTcTfX ?? 根據傅里葉變換的比例特性可得 如圖 232所示 ,由圖可看出，時間尺度展寬 (a)將導致其頻譜頻帶變窄 ,且向低頻端移動 ,這種情況為我們提高設備的頻率分析范圍創(chuàng)造了條件 ,但是以延長分析時間為代價的 。 解： )(2s i ns i n21s i n21)(0000)(000tjtjtjatjateejttdedteteX???????????????????????? ? ?202000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)( 00??????????? ????????????????????? ????????jajjajjajdteejX tjjatjja 211．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的頻移特性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT? ?? 則 ? ? ? ?02 0 ffXetx FTtfj ??? ??? ? 證明：因為 )(][ 02 0 ffeF tfi ??? ?? 又因為 ? ? ? ? ][* 00 202 tfiFTtfj eFfXetx ?? ?? ?? ?? ?????? ?? fjff ??? 1)(21)( ? ? ? ? ? ?0002 )(*0 ffXfffXetx FTtfj ?? ??? ??? ?? 證畢！ 212．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的共軛和共軛對稱特性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT?? ?? 則 ? ? ? ?fXtx FT ?? ?? ** 式中 x*(t)為 x(t)的共軛。???????????????????? 因此有 ? ? ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 ?? ?? ?? ??? 同理可證 ? ? ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 ?? ?? ?? ??? 證畢！ 27．求周期性方 波的（題圖 25）的幅值譜密度 解：周期矩形脈沖信號的傅里葉系數(shù) )(s i n21 1011 0 TncTTdteTC T T tjnn ?? ?? ? ? ? 則根據式，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換，有 )()(s i n22)( 0101 ?????? nTncTTX n ?? ????? 此式表明，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換是一個離散脈沖序列，集中于基頻 0? 以及所有諧頻處，其脈沖強度為 01/4 TT? 被 )(sin tc 的函數(shù)所加權。計算各傅里葉序列系數(shù) 當 n=0 時，常值分量 c0： TTdtTac TT 100 21 1 1 ??? ?? 當 n?0 時， 110110011 TTtjnTT tjnn eTjndteTc ??? ? ??? ? ?? ? 最后可得 ?????? ?? ?jeeTnc tjntjnn 22 000 ??? 注意上式中的括號中的項即 sin (n?0 T1)的歐拉公式展開，因此，傅里葉序列系數(shù) 可表示為 0)(s i n2)s i n(2 100 10 ??? nTncTTn Tnc n ，??? ? 其幅值譜為： )(s in211 TncTTc on ??，相位譜為： ??? ?? ,0n 。 解： ? ?24s i n4222c o s12s i n2s i n11222022022022022ATTATdttATt d tATdttATdttxTTTTTx??????? ????????????????? 也可先求概率密度函數(shù)：221)( xAtp ?? ? 則： ? ??? ?? 2)( 222 Adxxpxx? 。 24．求正弦信號 ? ? )sin ( ?? ?? tAtx 的概率密度函數(shù) p(x)。頻譜圖如下： 26．設 為周期信號 x(t)的傅里葉級數(shù)序列系數(shù)，證明傅里葉級數(shù)的nCTT/211/T? ?00?nCTT/211/T? ?0 0?n?????0時移特 性 。與傅里葉級數(shù)展開得到的幅值譜之區(qū)別在于，各諧頻點不是有限 值，而是無窮大的脈沖，這正表明了傅里葉變換所得到的是幅值譜密度。 證明： ? ? ? ????? dfefXtx ftj ?2)( 由于 ? ????????????????????dtetxdtetxfXftjftj??2**2*)()( 上式兩端用 f 替代 f 得 ? ? ? ???? ??? dtetxfX ftj ?2** )( 上式右端即為 x*(t)的傅里葉變換，證畢！ 特別地，當 x(t)為實信號時，代入 x*(t)= x(t)，可得 X(f)共軛對稱，即 ? ? ? ?fXfX *?? 213．設 X(f)為周期信號 x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性 即：若 ? ? ? ?fXtx FT? ?? 則 ? ? ? ?fxtX FT ?? ?? 證明： 由于 ? ????? dfefXtx ftj ?2)()( 以 t 替換 t 得 ? ? ? ???? ??? dfefXtx ftj ?2)( 上式 t 與 f 互換即可得 ? ? ? ???? ??? dtetXfx ftj ?2)( 即 ? ? ? ?fxtX ?? 證畢。反之 ,時間尺度壓縮 (a)會導致其頻譜頻帶變寬 ,且向高頻端擴展 ,這種情況為我們提高信號分析速度提供了可能。 （ 1） tbtatf3c os5s in)( ?? ?? （ 30） （ 2） tbttatf3c os6s in)( ??? （ 12? ） （ 3） )343sin()( ??? tatf （ ?38） （ 4） )54c os ()( ?? ?? tatf （ 8） 221．如圖所示，有 12 ?? nN 個脈寬為 ? 的單位矩形脈沖等間隔（間隔為 ??T ）地分布在原點兩側，設這個信號為 )(tx ，求其 FT。見圖（ b）。 222．“時域相關性定理”可描述如下 )()()]([ fYfXRF xy ??? 試證明。 在式中，令 yx? ，則可得 自相關的傅里葉變換 2* )()()()]([ fXfXfXRF x ???? 式中說明，“函數(shù)相關的 FT是其幅度譜的平方”，換句話說，“函數(shù)的自相關函數(shù)與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對”。 在特性曲線中可以看出，當ω﹤ n時，ζ對幅頻特性影響較小，φ(ω )－ω曲線接近直線。分析表明，當ζ＝ ～ 時，在ω＝ (0～ )ω n 的頻率范圍中，幅頻特性 A(ω )的變化不超過 5％，此時的相頻特性曲線也接近于直線，所產生的相位失真很小。 ζ越大，輸出接近穩(wěn)態(tài)輸出的時間越長。 另外，在斜坡輸入的情況下，ζ俞小，對斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差2ζ/ωn 也俞小，但隨著ζ的減小，超調量增大，回調時間加長，當ζ＝～ 時 ,有較好的響應特性。 4 ω 在對某壓力傳感器進行校準時，得到一組輸入輸出的數(shù)據如下： 正行程平均值 1264.5 2020.4 反行程平均值 1266.1 2020.6 試計算該壓力傳感器的最小二乘線性度和靈敏度。 根據式 32，線性特性表明，對于線性系統(tǒng)，如果輸入放大，則 輸出將成比例放大；同時作用于線性系統(tǒng)的兩個輸入所引起的輸出，等于兩個輸入分別作用于該系統(tǒng)所引起的輸出的和，當多個輸入作用于線性系統(tǒng)時，也有類似的關系。若系統(tǒng)的輸出信 號中含有其他頻率成份時，可以認為是外界干擾的影響或系統(tǒng)內部的噪聲等原因所至，應采用濾波等方法進行處理，予以排除。 第四章 習題與題解 余弦信號被矩形脈沖調幅，其數(shù)學表達式為 ????????TtTttftxs 02c o s)( 0? 試求其頻譜 解：設 )(2c o s)( 0 twtftx s ?? ? jjjHnnnn )(3)( 222 ???? ????? ?? ?? ＝2222)()( nnn jjH ????? ?? ???其中 ????????TtTttw01)( fTcTdtedtetwtwFfffftfFTTftjftj ?????? 2s i n2)()]([)(21)(21]2[ c o s22000????????? ? ???? ? ])(2[s i n])(2[s i n)](21)(21[2s i n2)]([0000TffcTTffcTfffffTcTtxF s?????????????? 2 、已知余弦信號 tftx 02cos)( ?? ，載波 tftz z?2cos)( ? ，求調幅信號)()()( tztxtxm ?? 的頻譜。 解：下圖為信號數(shù)字分析流程框圖，整個系統(tǒng)由三部分組成：模擬信號予處理，模數(shù)轉換和數(shù)字運算分析。 2) 模擬數(shù)字轉換完成模擬電壓離散采樣和幅值量化，將模擬電壓信抗頻混濾波器 幅值適調 采樣保持 幅值量化 運算分析 顯示輸出 模擬信號予處理 模擬數(shù)字轉換 數(shù)字分析 ??tx ??tx? ? ??nx nx 號轉換為數(shù)字碼。 52 .模數(shù)轉換器的輸入電壓為 0～ 10V。根據采樣定理，信號的帶寬應小于等于相應采樣頻率的一半。 1 100 200 300 f Hz ??fX 題圖 54 0 解 : 此題的關鍵是要掌握在不滿足采樣定理時，信號超出奈魁斯特頻率的頻譜部分將以奈魁斯特頻率為分界線，向低頻端折疊這一頻混現(xiàn)象。 55． 某信號 ??tx 的幅值頻譜如下 圖 。 1 100 200 300 f Hz ??fX 1 100 200 f Hz 2 ? ?fX? A(f) 2 0 0 f Hz 0 200 800 1200 A(f) 2 0 0 題圖 55 2) 當 fs =2200Hz 時， fN =1100Hz，小于信號的最高頻率，不滿足采樣定理。此時離散信號的頻譜如下： fN=1250Hz f Hz 0 200 800 1000 A(f) 2 0 0 fN＝ 1100Hz f Hz 0 200 300 700 A(f) 2 0 0 fN=750Hz 56. 已知某信號的截頻 fc＝ 125Hz，現(xiàn)要對其作數(shù)字頻譜分析，頻率分辨間隔 f? ＝ 1Hz。 3) 模擬信號記錄長度 ??NT 理論上至少應在 秒以上。在懸臂上對稱的貼有四片相同的電阻應變片，并采用全橋連接的方式，應變片的靈敏系數(shù) K=2，電阻值 R1 = R2 = R3 = R4 =120Ω，質量 m 的質