一元二次方程講義——絕對經(jīng)典實用(已修改)
2025-04-28 12:24 本頁面
【正文】 一元二次方程基礎(chǔ)知識 一元二次方程 方程中只含有一個未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，一般地，這樣的方程都整理成為形如的一般形式，我們把這樣的方程叫一元二次方程。其中分別叫做一元二次方程的二次項、一次項和常數(shù)項，a、b分別是二次項和一次項的系數(shù)。 如：滿足一般形式，分別是二次項、一次項和常數(shù)項，2，－4分別是二次項和一次項系數(shù)。 注：如果方程中含有字母系數(shù)在討論是否是一元二次方程時，則需要討論字母的取值范圍。2. 一元二次方程求根方法 （1）直接開平方法 形如的方程都可以用開平方的方法寫成，求出它的解，這種解法稱為直接開平方法。 （2）配方法 通過配方將原方程轉(zhuǎn)化為的方程，再用直接開平方法求解。 配方：組成完全平方式的變形過程叫做配方。 配方應(yīng)注意：當二次項系數(shù)為1時，原式兩邊要加上一次項系數(shù)一半的平方，若二次項系數(shù)不為1，只需方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，使之成為1。 （3）公式法 求根公式：方程的求根公式 步驟： 1）把方程整理為一般形式：，確定a、b、c。 2）計算式子的值。 3）當時，把a、b和的值代入求根公式計算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法 把一元二次方程整理為一般形式后，方程一邊為零，另一邊是關(guān)于未知數(shù)的二次三項式，如果這個二次三項式可以作因式分解，就可以把這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解，這種解方程的方法叫因式分解法。一元二次方程根的判別式的定義運用配方法解一元二次方程過程中得到 ，顯然只有當時，才能直接開平方得：．也就是說，一元二次方程只有當系數(shù)、滿足條件時才有實數(shù)根．這里叫做一元二次方程根的判別式．判別式與根的關(guān)系在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)、確定，它的根的情況（是否有實數(shù)根）由確定．設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則①方程有兩個不相等的實數(shù)根．②方程有兩個相等的實數(shù)根．③方程沒有實數(shù)根．若，為有理數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；若為完全平方式，同時是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根．說明：⑴用判別式去判定方程的根時，要先求出判別式的值：上述判定方法也可以反過來使用，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；有兩個相等的實數(shù)根時，；沒有實數(shù)根時，．⑵在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判別式判定方程的根的情況（有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，無實數(shù)根）．當時，方程有兩個相等的實數(shù)根（二重根），不能說方程只有一個根．①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當時拋物線開口向下頂點為其最高點．一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：⑴運用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù)； ⑵利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；⑶通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；（4）借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題．韋達定理如果的兩根是，則，．（隱含的條件：） 特別地，當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，設(shè)，是方程的兩個根，則，．韋達定理的逆定理以兩個數(shù)，為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是．一般地，如果有兩個數(shù)，滿足，那么，必定是的兩個根．韋達定理與根的符號關(guān)系在的條件下，我們有如下結(jié)論：⑴當時，方程的兩根必一正一負．若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值．⑵當時，方程的兩根同正或同負．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根．更一般的結(jié)論是：若，是的兩根（其中），且為實數(shù)，當時，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：當時，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負根的條件．其他有用結(jié)論：⑴若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．⑵若，則方程必有實數(shù)根．⑶若，方程不一定有實數(shù)根．⑷若，則必有一根．⑸若，則必有一根．韋達定理的應(yīng)用⑴已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；⑵已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；⑶已知方程的兩根，求作方程；⑷結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；⑸逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；⑹利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱整數(shù)根問題對于一元二次方程的實根情況，可以用判別式來判別，但是對于一個含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)．方程有整數(shù)根的條件：如果一元二次方程有整數(shù)根，那么必然同時滿足以下條件：⑴ 為完全平方數(shù)；⑵ 或，其中為整數(shù)．以上兩個條件必須同時滿足，缺一不可．另外，如果只滿足判別式為完全平方數(shù)，則只能保證方程有有理根(其中、均為有理數(shù))1一元二次方程的應(yīng)用1．求代數(shù)式的值；2. 可化為一元二次方程的分式方程。步驟：1）去分母，化分式方程為整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）檢驗3. 列方程解應(yīng)用題 步驟：審、設(shè)、列、解、驗、答板塊一 一元二次方程的定義●夯實基礎(chǔ)例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。（1）（2） （3） （4）（5）例2 已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求的取值范圍． 例3 若一元二次方程的常數(shù)項為零，則的值為_________． ●能力提升例4 關(guān)于x的方程是什么方程？它的各項系數(shù)分別是什么？例5已知方程是關(guān)于的一元二次方程，求、的值．例6若方程（m1）x2+ x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）A．m≠1 B．m≥0
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