【正文】 一般地，如果有兩個數(shù)，滿足，那么，必定是的兩個根．韋達(dá)定理與根的符號關(guān)系在的條件下，我們有如下結(jié)論：⑴當(dāng)時，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對值．⑵當(dāng)時，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．更一般的結(jié)論是：若，是的兩根（其中），且為實數(shù)，當(dāng)時，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：當(dāng)時，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．其他有用結(jié)論：⑴若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．⑵若，則方程必有實數(shù)根．⑶若，方程不一定有實數(shù)根．⑷若，則必有一根．⑸若，則必有一根．韋達(dá)定理的應(yīng)用⑴已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；⑵已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；⑶已知方程的兩根，求作方程；⑷結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；⑸逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑹利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱整數(shù)根問題對于一元二次方程的實根情況，可以用判別式來判別，但是對于一個含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)．方程有整數(shù)根的條件：如果一元二次方程有整數(shù)根，那么必然同時滿足以下條件：⑴ 為完全平方數(shù)；⑵ 或，其中為整數(shù)．以上兩個條件必須同時滿足，缺一不可．另外，如果只滿足判別式為完全平方數(shù)，則只能保證方程有有理根(其中、均為有理數(shù))1一元二次方程的應(yīng)用 步驟：審、設(shè)、列、解、驗、答板塊一 一元二次方程的定義●夯實基礎(chǔ)例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。 （1） （2） （3）（x是未知數(shù)） 例2如果關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是（ ）A． B． C． D． 例3已知，為正數(shù)，若二次方程有兩個實數(shù)根，那么方程的根的情況是（ ）A．有兩個不相等的正實數(shù)根 B．有兩個異號的實數(shù)根C．有兩個不相等的負(fù)實數(shù)根 D．不一定有實數(shù)根例4若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。例2 、已知關(guān)于x的方程a2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根，求a的值．例3 、設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2(m1)x＋1＝0有有理根，求m的值例4 、關(guān)于x的方程ax2+2(a3)x+(a2)=0至少有一個整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值．例5 、已知關(guān)于x的方程x2＋(a6)x＋a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值．例6 、求所有有理數(shù)r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r1)=0的所有根是整數(shù)．例已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)m為何整數(shù)時，原方程的根也是整數(shù)．解：(1)證明： Δ= = = =．∵ ≥0， ∴ ＞0．∴ 無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根. …………2分（2） 解關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得 . ………………3分要使原方程的根是整數(shù)，必須使得是完全平方數(shù).設(shè)，則.∵ +和的奇偶性相同，可得或解得或. ………………5分 將m=－1代入，得符合題意. ………………6分 ∴ 當(dāng)m=－1 時 ，原方程的根是整數(shù). ……………7分例8知關(guān)于x的方程．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，求關(guān)于y的方程的整數(shù)根（為正整數(shù)）．解：（1）△=== ……………………………………………………………… 1分∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴ 即 ∴的取值范圍是且． …………………………………… 3分（2）當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，△==．∴． ………………………………………………………………… 4分∴關(guān)于y的方程為．∴．由a為正整數(shù)，當(dāng)是完全平方數(shù)時，方程才有可能有整數(shù)根．設(shè)（其中m為整數(shù)），（、均為整數(shù)），∴．即．不妨設(shè) 兩式相加，得 ．∵與的奇偶性相同，∴32可分解為，∴或或或．∴或或（不合題意，舍去）或．當(dāng)時，方程的兩根為，即，．…… 5分當(dāng)時，方程的兩根為，即，．…… 6分當(dāng)時， 方程的兩根為，即，． ………… 7分例9（011西城二模）閱讀下列材料：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則，．解決下列問題：已知：a，b，c均為非零實數(shù)，且a＞b＞c，關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一根為2．（1）填空： 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用閱讀材料中的結(jié)論直接寫出方程的另一個實數(shù)根（用含a，c的代數(shù)式表示）；（3）若實數(shù)m使代數(shù)式的值小于0，問：當(dāng)x=時，代數(shù)式的值是否為正數(shù)？寫出你的結(jié)論并說明理由．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）．……………………………………………………………………………4分（3）答：當(dāng)x=時，代數(shù)式