中考二次函數(shù)壓軸試題分類匯編及答案(已修改)
2025-04-19 22:54 本頁面
【正文】 中考二次函數(shù)壓軸題分類匯編1． 極值問題=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．分析：（1）首先求得A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）設M的橫坐標是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質求解；（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標．解：（1）由題設可知A（0，1），B（﹣3，），根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）設N（x，﹣x2﹣x+1），則M、P點的坐標分別是（x，﹣x+1），（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，則當x=﹣時，MN的最大值為；（3）連接MN、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故當N（﹣1，4）時，MN和NC互相垂直平分．點評：本題是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質、菱形的判定的綜合應用，利用二次函數(shù)的性質可以解決實際問題中求最大值或最小值問題．，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C（0，﹣4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）（1）求該拋物線的解析式．（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求出其最大值；（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．解答：解：（1）把點C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，得，解得∴該拋物線的解析式為y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB?OC=12．設P點坐標為（x，0），則PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化簡得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB?OC﹣S△PBE=（2﹣x）4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴當x=﹣1時，S△PCE的最大值為3．（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當DM=DO時，如答圖①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45176。，∴∠ADM=90176。，∴M點的坐標為（﹣2，﹣2）；（II）當MD=MO時，如答圖②所示．過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M點的坐標為（﹣1，﹣3）；（III）當OD=OM時，∵△OAC為等腰直角三角形，∴點O到AC的距離為4=，即AC上的點與點O之間的最小距離為．∵＞2，∴OD=OM的情況不存在．綜上所述，點M的坐標為（﹣2，﹣2）或（﹣1
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