高中數(shù)學競賽講義8平面向量(已修改)
2025-04-16 05:15 本頁面
【正文】 高中數(shù)學競賽講義（八） ──平面向量一、基礎知識定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a. |a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結合律。定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合律。定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數(shù)0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面內的向量a, b不共線，則對同一平面內任意向是c，存在唯一一對實數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作ab=|a||b|cos=|a||b|cosa, b，也稱內積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負值）。定理4 平面向量的坐標運算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), ab=(x1x2, y1y2)，2．λa=(λx1, λy1), a(b+c)=ab+ac，3．a(chǎn)b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，則定義6 設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應的點為，則稱為平移公式。定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|≤|a||b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2|b|2|a
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