【正文】 4－1)－2=70．７．解：依題意可得,設(shè),要使,只需,在(1,3)上的圖象均在軸的下方,則,由此可解得結(jié)果.8．解：由于1995=15180。133，所以，只要n133，就有15n. 由于這時己取出了15180。9=135, … 15180。133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個數(shù)，即共取出1995—133+8=1870個數(shù), 這說明所求數(shù)≥1870.另一方面，把k與15k配對，（k不是15的倍數(shù)，且1≤k≤133）共得133—8=125對，每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)≤1870，綜上可知應(yīng)填1870.：考慮M的n+2元子集P={n－l，n，n+1，…，2n}．P中任何4個不同元素之和不小于(n－1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k≥n +3．將M的元配為n對，Bi=(i，2 n +1－i)，1≤i≤n． 對M的任一n+3元子集A，必有三對同屬于A(iI I 3兩兩不同)．又將M的元配為n－1對，C I (i，2n－i)，1≤i≤n－1．對M的任一n+3元子集A，必有一對同屬于A，這一對必與中至少一個無公共元素，這4個元素互不相同，且和為2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整數(shù)k= n +310．: ⑴∵,∈且＝,∴∈；⑵假設(shè),則存在,使＝即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*），.：，．當時，由得；當時，由得；當時，與不符．綜上所述，．12．解：由④若，∈,則＋∈可知，若∈，則（1） 由①可設(shè)，∈，且＞0，＜0，則－＝|| (||∈)故,－∈,由④,0＝(－)+∈.（2）∈，則中的負數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當－（）∈（）時，－1＝（－）＋∈，與③，由②，我們?nèi)∵m當正整數(shù)，使，B組1．證明：設(shè)任意的∈，≠0,由②知∈，或－∈①，若∈，則；若－∈，.取=1，則1∈.再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…，可知全體正整數(shù)都屬于.設(shè)，由①，又由前證知，所以∈.因此，①知，.2．證明：（1）若，則，所以每個集合中均有非負元素.當三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立.否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負元素，不妨設(shè)則－∈.若＞0,則0≤－＜，=0.任取因0∈,故－0＝∈.所以，同理.所以=.（２）=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}顯然滿足條件，和與都無公共元素.3．解：=.與分別為方程組（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能：① ②由①解得=0；由②解得=1.故=0或1時，恰有兩個元素.（2） 使恰有三個元素的情況是：= 解得，故當時，恰有三個元素.4．解: (1)設(shè)(即集合A中的點與集合B中的點的距離的最小值), 則稱為A與B的距離.⑵解法一：∵中點的集合為圓圓心為,令是雙曲線上的任一點,則==+8=令,則=當時,即有解，∴∴解法二：如圖,是雙曲線上的任一點, Q為圓上任一點,(當三點共線時取等號)∴.5．解：記時，由于1，2，……18都是的約數(shù)，故此時從而若存在，使，則對于小于99的正整數(shù)，均有，從而，但是，由整數(shù)理論中的性質(zhì)911=99是的一個約數(shù)，這是一個矛盾！從而6．證明：假設(shè)該校共有個班級，他們的建議分別組成集合。這些集合中沒有兩個相同（因為沒有兩個班級提出全部相同的建議），而任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集。這樣在中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的個子集，所以 第二章 函數(shù) 167。 函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的基本性質(zhì)：1. 函數(shù)圖像的對稱性（1） 奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，對于任意，都有成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，對于任意，都有成立。（2） 原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。 若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線對稱。（3） 若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于直線對稱；若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于點對稱。（4） 互對稱知識：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。2．函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是針對其定義域的某個子區(qū)間而言的。判斷一個函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復合函數(shù)的單調(diào)性） 特別提示：函數(shù)的圖像和單調(diào)區(qū)間。3．函數(shù)的周期性 對于函數(shù)，若存在一個非零常數(shù)，使得當為定義域中的每一個值時，都有成立，則稱是周期函數(shù)，稱為該函數(shù)的一個周期。若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期為的函數(shù)，則是周期為的周期函數(shù)。（3） 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則是周期為的函數(shù)。（4） 若函數(shù)滿足，則是周期為的函數(shù)。： 常規(guī)求法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、構(gòu)造法5．Gauss(高斯)函數(shù)對于任意實數(shù)，我們記不超過的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又記，則函數(shù)稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：（1） 對任意 （2） 對任意，函數(shù)的值域為（3） 高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對于任意（4） 若，后一個式子表明是周期為1的函數(shù)。（5） 若 （6） 若二、應(yīng)用舉例：例1．已知是一次函數(shù)，且．求的解析式．例2．已知例3．函數(shù)，求函數(shù)迭代中的”穿脫”技巧設(shè)函數(shù)y=f(x),并記fn(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整數(shù), fn(x)叫做函數(shù)f(x)的n次迭代,函數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復合形式,在現(xiàn)代數(shù)學中占有很重要的地位,尤其是近年來在國內(nèi)外數(shù)學競賽屢次出現(xiàn),成為熱點問題之一,(x)(或fn(x)的表達式”穿上”或”脫去”n1個函數(shù)符號得出fn(x)(或f(x))的函數(shù)迭代問題,這里我們對數(shù)學競賽中穿脫問題的解題技巧作簡單介紹和粗淺的探索.1程序化穿脫“穿”,”脫”函數(shù)符號是一種有序的過程,由內(nèi)至外一層層穿上f,或從外至內(nèi)一層層脫去f,往往是一種程序化的模式,例 已知f(x)= ,求fn(x).2實驗法穿脫許多情況下,求解穿脫問題并非只是一種程序化的操作,還需要用敏銳的思維和眼光去發(fā)現(xiàn)穿脫過程所蘊含的規(guī)律性,實驗是發(fā)現(xiàn)的源泉,是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的金鑰匙.例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿足f(n)=　n3 (n≥1000)f[f(n+5)](n＜1000求f(84)例21 對任意的正整數(shù)k,令f1(k)≥2令fn(k)=f1(fn1(k)),求f1988(11).3周期性穿脫 　在求解函數(shù)迭代問題時我們經(jīng)常要借助于函數(shù)的周期性,利用周期性穿脫要能達到進退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解題過程.例定義域為正整數(shù)的函數(shù),滿足:f(n)=　n3 (n≥1000)f[f(n+7)](n＜1000.試求f(90)練習,f(n)為n2+1(十進制)的數(shù)字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.(x)=.設(shè)f35(x)=f5(x),求f28(x).例4．求函數(shù)的值域。兩邊平方得，從而且。由或y≥2。任取y≥2，由，易知x≥2，于是。任取，同樣由，易知x≤1。于是。因此，所求函數(shù)的值域為。例5（1）設(shè)x,y是實數(shù)，且滿足，求x+y的值（2） 若方程有唯一解，求a例6：解方程、不等式：（1） （2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0 （3）。 解： 令，可知是奇函數(shù)，且嚴格單調(diào)，所以 ，當時，所以，故，即圖象和軸交點坐標為若函數(shù)為單調(diào)的奇函數(shù)，且，則。若遇兩個式子結(jié)構(gòu)相同，不妨依此構(gòu)造函數(shù)，若剛好函數(shù)能滿足上述性質(zhì)，則可解之。Ex2. 設(shè)函數(shù)，則對任意實數(shù)a,b,是的（ ）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件探求討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，歷年來都是數(shù)學競賽的命題熱點之一，例如探求函數(shù)的周期性，函數(shù)的不等式證明，以及解反函數(shù)的不等式等問題。而解決這類問題　的辦法就是要“穿脫”函數(shù)符號“f”，下面我們從具體的例子談一談“穿脫”的技巧與方法.對于特殊函數(shù)的單調(diào)性,我們可以根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)“f”進行“穿脫”,進而達到化簡的目的,由此使問題獲得解答.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上是增函數(shù),:⑴證明命題:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(a)+f(b).⑵判斷⑴中的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論.2 反函數(shù)穿脫法靈活自如地處理原函數(shù)f(x)與反函數(shù)f1(x),并能熟練地運用f1 (f(x))=x,f(f1(x))=x進行穿脫函數(shù)符號“f”，這是極為常用而又重要的方法.引理 若f(x),g(x)互為反函數(shù),且f(a+b)=f(a) f(b),則g(mn)=g(m)+g(n)例 已知函數(shù)f(x)滿足:①f()=1。②函數(shù)的值域為[1,1]。③嚴格遞減。 ④f(xy)= f(x)+f(y).試求:⑴求證: 不在f(x)的定義域內(nèi)⑵求不等式f1(x)f1()≤的解集3定義探求法在求解有關(guān)函數(shù)方程的問題時,我們經(jīng)常會遇到要證明某函數(shù)為周期性函數(shù),此時我們一般采用周期函數(shù)的定義來求解,探求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).例 設(shè)a0, f(x)是定義在實數(shù)集上的一個實值函數(shù),且對每一實數(shù)x,有f(x+a)=+⑴證明: f(x)是周期函數(shù)。⑵對a=1,具體給出一個這樣的非常數(shù)的函數(shù)f(x)例7．設(shè)，均為實數(shù)，試求當變化時，函數(shù)的最小值。例8．設(shè)是定義在Z上的一個實值函數(shù)，滿足，求證：是周期為4的周期函數(shù)。 例9．已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x＋m)＝－,求證f(x)是周期函數(shù)三、練習1．集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當時，有 ，對于兩個函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（ ） 2．設(shè)，記，若 則（　?。　ⅰ　　?、　　　、　　　、3．若(log23)x(log53)x≥(log23)(log53)，則( )(A)xy≥0 (B)x+y≥0 (C)xy≤0 (D)x+y≤04．定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個不同的實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為( ) B. D.5．已知（a、b；實數(shù)）且，則的值是 （ ）（A） （B） （C） 3 （D） 隨a、b取不同值而取不同值6．函數(shù)的奇偶性是: C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 7．已知函數(shù)在[1,2]上恒正，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )（A） （B） （C） （D）8．函數(shù)的值域為（ ）9．給定實數(shù)，定義為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的序號是 （ ）10．函數(shù)，則 11。實數(shù)x，y滿足x2＝2xsin(xy)－1，則x2006＋6sin5y＝______________12．方程ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0的解集是 13．.已知,且，則= 14．下列說法正確的是 （1）函數(shù)與關(guān)于直線對稱；（2）函數(shù)與關(guān)于y軸對稱；（3）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于直線對稱；（4）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于y軸對稱15．若函數(shù)的定義域為R，且對于的任意值都有，則函數(shù)的周期為__________。16．設(shè)方程的根為,方程的根為,則 = 17．函數(shù)，則 18．設(shè)則S的最大值為 19．設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉部分的面積．20．為何實數(shù)時，方程有四個互不相等的實數(shù)根．21．(1)若函數(shù)滿足，求證的圖像就關(guān)于直線對稱(2)函數(shù)的圖像關(guān)于某條垂直于x軸的直線對稱，求實數(shù)c的值22．已知，定義（１）求（２）設(shè)，求證：中至少含有個元素．函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，但不包括數(shù)，對定義域中的任何實數(shù)，在定義域中存在，使得，且滿足以下三個條件：（１）是定義域中的數(shù)，或，則；（２）（是一個正常數(shù)）；（３）當時，．求證：（１）是奇函數(shù)；（２）是周期函數(shù)，并求出其周期；（３）在內(nèi)為減函數(shù)．167。 二次函數(shù)一、 基礎(chǔ)知識：1． 二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點式：，頂點為（3）兩根式：（4）三點式：2．二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）的圖像是一條拋物線，頂點坐標是，對稱軸方程為，開口與有關(guān)。（2）單調(diào)性：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；時相反。（3）奇偶性：當時，為偶函數(shù)；若對恒成立，則為的對稱軸。（4）最值：當時，的最值為，當時，的最值可從中選?。划敃r，的最值可從中選取。常依軸與區(qū)間的位置分類討論。3．三個二次之間的關(guān)聯(lián)及根的分布理論：二次方程的區(qū)間根問題，一般情況需要從三個方面考慮：判別式、區(qū)間端點函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系。