中考數(shù)學(xué)幾何典型例題(已修改)
2025-04-16 03:01 本頁(yè)面
【正文】 幾何綜合題一圖形與證明中要求：會(huì)用歸納和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。圖形的認(rèn)識(shí)中要求：會(huì)運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)知識(shí)和方法（兩點(diǎn)之間的距離，等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)，全等三角形的知識(shí)和方法，平行四邊形的知識(shí)，矩形、菱形和正方形的知識(shí)，直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)）解決有關(guān)問(wèn)題；能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；能綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決與圓周角有關(guān)的問(wèn)題；能解決與切線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題。圖形與變換中要求：能運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。解決幾何綜合題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺(jué)”，是建立在足夠的知識(shí)積累的基礎(chǔ)上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線(xiàn)，在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型，找到“新”問(wèn)題與“舊”模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。在中檔幾何題目教學(xué)中注重對(duì)基本圖形及輔助線(xiàn)的積累是非常必要的。舉例：與相似及圓有關(guān)的基本圖形正方形中的基本圖形 基本輔助線(xiàn)（1）角平分線(xiàn)——過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)（角平分線(xiàn)的性質(zhì)）、翻折；【參見(jiàn)(一)1；（二）1；西城中考總復(fù)習(xí)P57例6】*（2）與中點(diǎn)相關(guān)——倍長(zhǎng)中線(xiàn)（八字全等），中位線(xiàn)，直角三角形斜邊中線(xiàn)；【參見(jiàn)(一)5】*（3）共端點(diǎn)的等線(xiàn)段——旋轉(zhuǎn)基本圖形（60176。，90176。），構(gòu)造圓；垂直平分線(xiàn)，角平分線(xiàn)——翻折； 轉(zhuǎn)移線(xiàn)段——平移基本圖形（線(xiàn)段）線(xiàn)段間有特殊關(guān)系時(shí)，翻折；【參見(jiàn)(一)6,7,8,9】（4）特殊圖形的輔助線(xiàn)及其遷移——梯形的輔助線(xiàn)（什么時(shí)候需要這樣添加？）等【參見(jiàn)(一)7】作雙高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面積；銳角三角函數(shù)平移腰——上下底之差；兩底角有特殊關(guān)系（延長(zhǎng)兩腰）；梯形——三角形平移對(duì)角線(xiàn)——上下底之和；對(duì)角線(xiàn)有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。（P5——2006北京，25*）……注：在繪制輔助線(xiàn)時(shí)要注意同樣輔助線(xiàn)的不同說(shuō)法，可能會(huì)導(dǎo)致解題難度有較大差異。 在幾何綜合題解題教學(xué)中，建議可以分為以下三個(gè)階段：第一階段：基本圖形、輔助線(xiàn)等的積累——在講授綜合題目前，搭配方法類(lèi)似的中檔題，或者給有閱讀材料（小問(wèn)遞進(jìn)啟發(fā)）的綜合題目，給學(xué)生入手點(diǎn)的啟發(fā)。注重提升學(xué)生的遷移能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法。第二階段：反思與總結(jié)——引導(dǎo)學(xué)生在解題遇到困難時(shí)，記錄思維卡點(diǎn)，分析問(wèn)題所在；注重一題多解，并注重各種解法的可遷移性；在解題后，能夠抽離出題目的基本型，將題目的圖形，方法進(jìn)行歸類(lèi)整理。第三階段：綜合能力的提升——學(xué)生在遇到綜合問(wèn)題時(shí)能夠聯(lián)想到之前的經(jīng)驗(yàn)，形成所謂的“幾何感覺(jué)”。此時(shí)練習(xí)可以綜合性較強(qiáng)的題目為主，要注重書(shū)寫(xiě)過(guò)程時(shí)抓住要點(diǎn)，簡(jiǎn)明有條理性。(一)基本圖形與輔助線(xiàn)的添加角平分線(xiàn)（【類(lèi)】P5——2006北京，23；西城中考總復(fù)習(xí)P57例6）（2010宣武一模，23）已知： 平分（1）在圖1中，若。（填寫(xiě)“”或“”或“”）（2）在圖2中，若，則（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在圖3中：①若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，則（用含的三角函數(shù)表示，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）：(1) AB＋AD = AC．1分(2) 仍然成立．證明：如圖2過(guò)C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，則∠CEA=∠CFA=90176。．∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120176。，∴ ∠MAC=∠NAC=60176。．又∵ AC=AC， ∴ △AEC≌△AFC，∴ AE=AF，CE=CF．∵ 在Rt△CEA中，∠EAC=60176。，∴ ∠ECA=30176。， ∴ AC=2AE．∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC．∵ ∠ABC＋∠ADC＝180176。，∠CDE+∠ADC=180176。，∴ ∠CDE=∠CBF．又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB．∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC．∴ AB+AD=AC． 4分(3)①AB+AD=AC．證明：如圖3，方法同(2)可證△AGC≌△AHC．∴AG=AH．∵∠MAN=60176。， ∴∠GAC=∠HAC=30176。．∴AG=AH=AC．∴AG+AH=AC．∴GD+DA+AH=AC．方法同(2)可證△GDC≌△HBC．∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=AC．∴AD+AB=AC．6分②A(yíng)B＋AD＝AC．7分中位線(xiàn)/中線(xiàn)*（2010海淀一模，25）已知：中，中，, . 連接、點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn). 圖1 圖2(1) 如圖1，若、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且，則的形狀是________________，此時(shí)________；(2) 如圖2，若、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；(3) 在圖2中，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫(xiě)出的最大值.直角三角形斜邊中線(xiàn)（2011海淀一模，25）在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，tan∠BAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn).（1）若過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1． 設(shè)，則k = ；（2）若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BEDE=2CF；（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線(xiàn)段CF長(zhǎng)度的最大值．25． 解：（1）k=1； ………….……………………………2分（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線(xiàn)交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q. 由題意，ta
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