【正文】 圖3【類題】（2011平谷一模，24）已知點A，B分別是兩條平行線，上任意兩點，C是直線上一點，且∠ABC=90176。則CD= ；（2）如圖2，當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且∠ACB=90176?！螦BC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．BBBCCCAAADPE①②③(三) 一題多解與題目的變式及類題*（西城中考總復(fù)習(xí)P64例5）點M為正方形ABCD的邊AB（或延長線上）任一點（不與A，B重合），射線MN與的外角平分線交于點N，求證：DM=MN. 【變式】A、方法類比，改變圖形（1）等邊三角形ABC中，在BC邊上任取一點D（不與A，B重合）， 作 ， DE交∠C的外角平分線于E，判斷△ADE的形狀，并證明。AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線 可得∠2＋∠3＝60176。只有此證法，只給1分。．∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分 又∵ ， ∴ △ADF∽△EBF． ………………………………………………5分 ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴ ∠APE=∠3=30176?！?．∴ ∠C=∠BDF．∴ △ACD∽△BDF．………………5分 ∴ ，∠1=∠2．圖10∴ ．∵ ∠1+∠3=90176。．∵EF⊥PD，∠1＝∠2，∴∠ADH=∠AEF．∵AD=AE，∴△ADH≌△AEF． 4分∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．∴∠FAH ==90176。（3）若點E在AB延長線上，請你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系. 圖1 圖2倍長過中點的線段（2008年北京，25）請閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段的中點，連結(jié)．若，探究與的位置關(guān)系及的值．小聰同學(xué)的思路是：延長交于點，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．DABEFCPG圖1DCGPABEF圖2請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）若圖1中，將菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．解：（1）線段與的位置關(guān)系是 ； ．25．解：(1)線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；．(2)猜想：(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．證明：如圖，延長GP，交AD于點H，連結(jié)CH、CG．∵P是線段DF的中點，∴FP＝DP．由題意可知AD∥FG．∴∠GFP＝∠HDP．又∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP．∴GP＝HP，GF＝HD．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60176。．∴AG=AH=AC．∴AG+AH=AC．∴GD+DA+AH=AC．方法同(2)可證△GDC≌△HBC．∴GD=HB，　∴ HB+DA+AH=AC．∴AD+AB=AC．6分②AB＋AD＝．∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120176。（P5——2006北京，25*）……注：在繪制輔助線時要注意同樣輔助線的不同說法，可能會導(dǎo)致解題難度有較大差異。幾何綜合題一圖形與證明中要求：會用歸納和類比進行簡單的推理。），構(gòu)造圓；垂直平分線，角平分線——翻折； 轉(zhuǎn)移線段——平移基本圖形（線段）線段間有特殊關(guān)系時，翻折；【參見(一)6,7,8,9】（4）特殊圖形的輔助線及其遷移——梯形的輔助線（什么時候需要這樣添加？）等【參見(一)7】作雙高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面積；銳角三角函數(shù)平移腰——上下底之差；兩底角有特殊關(guān)系（延長兩腰）；梯形——三角形平移對角線——上下底之和；對角線有特殊位置、數(shù)量關(guān)系。（填寫“”或“”或“”）（2）在圖2中，若，則（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）在圖3中：①若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，則（用含的三角函數(shù)表示，直接寫出結(jié)果，不必證明）：(1) AB＋AD = AC．1分(2) 仍然成立．證明：如圖2過C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，則∠CEA=∠CFA=90176?！　唷螱AC=∠HAC=30176。, 點E在直線AB上, ED與直線AC垂直, 垂足為D，且點M為EC中點, 連接BM, DM.（1）如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系, 并直接寫出你得到的結(jié)論；（2）如圖2，若點E在BA延長線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。 ∴ ∴． 1分∵E為BC的中點， ∴． ∴AE=BC. ∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC. ∴AE=AD. 2分ECBAFPD圖9H（2）在DP上截取DH=EF（如圖8）．∵