抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性與周期性總結(jié)與習(xí)題(已修改)
2025-04-07 00:35 本頁(yè)面
【正文】 .. . . ..抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性與周期性總結(jié)及習(xí)題 : 抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿(mǎn)足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來(lái)比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力 周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C:。把個(gè)單位即按向量在其他周期的圖像：。奇偶函數(shù)：設(shè)①若②若。分段函數(shù)的奇偶性函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：（1）中心對(duì)稱(chēng)即點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：①點(diǎn)② ③④⑤（2）軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)稱(chēng)軸方程為：。①關(guān)于直線(xiàn)②函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。③關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。二、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的幾個(gè)重要結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對(duì)稱(chēng)性（自身對(duì)稱(chēng)）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱(chēng)性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性”。 圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論1： 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性（相互對(duì)稱(chēng)）（利用解析幾何中的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)軌跡方程理解）偶函數(shù)與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論2:函數(shù)與 圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) （三）抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)1 若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝a軸對(duì)稱(chēng)，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2 若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng)，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時(shí)的特例。復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說(shuō)明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個(gè)特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝a軸對(duì)稱(chēng)（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng)）復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線(xiàn)x＝（b－a）/2軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)（（b－a）/2，0）中心對(duì)稱(chēng)推論 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對(duì)稱(chēng)推論 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)x＝a與x＝b軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2
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