基本不等式經(jīng)典例題精講(已修改)
2025-04-06 00:14 本頁面
【正文】 . .. . ..新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講（）典題精講例1（1）已知0＜x＜，求函數(shù)y=x(13x)的最大值。（2）求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與x＜0討論.（1）解法一：∵0＜x＜,∴13x＞0.∴y=x(13x)= 3x(13x)≤［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)3x=13x，即x=時(shí)，等號(hào)成立.∴x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴x＞0.∴y=x(13x)=3x(x)≤3［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=x,即x=時(shí)，等號(hào)成立.∴x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.（2）解：當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式，得y=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+=［(x)+］.∵x＞0,∴(x)+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí)，等號(hào)成立.∴y=x+≤2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域?yàn)?∞,2］∪［2,+∞).綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否具備.變式訓(xùn)練1當(dāng)x＞1時(shí)，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞1x+1＞0,變x=x+11時(shí)x+1與的積為常數(shù).解：∵x＞1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+1≥21=1.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=0時(shí),取得等號(hào).∴f(x)min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令t=x2+1，則t≥1且x2=t1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時(shí)
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